উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

(3)
বৃত্ত: $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$। কেন্দ্র $C(2, 3)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$।

রেখা: $3x + 4y + 7 = 0$। কেন্দ্র থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব

$d = \frac{|3(2) + 4(3) + 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{25}{5} = 5 = r$

যেহেতু কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান, রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে।

স্পর্শ বিন্দু হলো কেন্দ্র থেকে রেখার ওপর লম্বের পাদবিন্দু। লম্বের সমীকরণ: $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{4} = k$, অর্থাৎ $(x, y) = (2+3k,\ 3+4k)$।

রেখার সমীকরণে বসিয়ে: $3(2+3k) + 4(3+4k) + 7 = 0 \Rightarrow 25k + 25 = 0 \Rightarrow k = -1$।

স্পর্শবিন্দু $= (2-3,\ 3-4) = \mathbf{(-1, -1)}$।

যাচাই: $1 + 1 + 4 + 6 - 12 = 0$ ✓