পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির প্রতিটি মানকে তাদের নিজ নিজ গুরুত্ব বা ভার দ্বারা গুণ করে গুণফলগুলোর সমষ্টিকে মোট গুরুত্ব বা ভারের সমষ্টি দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে যোজিত গড় বা ভারযুক্ত গাণিতিক গড় (Weighted Mean) বলে। অথবা, কোনো তথ্যসারির পদগুলোর সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে যোজিত বা গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নিম্নলিখিত ক্ষেত্রগুলোতে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না:
   ১. তথ্যসারিতে গুণবাচক তথ্য (যেমন: সততা, মেধা, সৌন্দর্য ইত্যাদি) থাকলে তা সংখ্যায় প্রকাশ করা না গেলে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
   ২. গণসংখ্যা নিবেশনের উন্মুক্ত প্রান্তবিশিষ্ট বা খোলা শ্রেণি থাকলে (যেমন: ১০ এর কম বা ৫০ এর বেশি) শ্রেণির মধ্যমান নির্ণয় করা যায় না বিধায় গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না।
   ৩. তথ্যসারির কোনো একটি মানের অনুপস্থিতি বা মান না জানা থাকলে গাণিতিক গড় হিসাব করা যায় না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত নম্বরগুলো হলো: $7, 10, 8, 12, 13, 10$।
   মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা, $n = 6$

   গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{7 + 10 + 8 + 12 + 13 + 10}{6} = \frac{60}{6} = 10$

   গাণিতিক গড় হতে নম্বরগুলোর ব্যবধানের বর্গের সমষ্টি:
   $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (7-10)^2 + (10-10)^2 + (8-10)^2 + (12-10)^2 + (13-10)^2 + (10-10)^2$
   $= (-3)^2 + 0^2 + (-2)^2 + 2^2 + 3^2 + 0^2$
   $= 9 + 0 + 4 + 4 + 9 + 0 = 26$

   এখন, $\bar{x} = 10$ ব্যতীত অন্য যেকোনো ধ্রুবক বা অনুমিত মান ধরি $a = 9$ (বা $a = 11$):
   $a = 9$ এর জন্য ব্যবধানের বর্গের সমষ্টি:
   $\sum (x_i - 9)^2 = (7-9)^2 + (10-9)^2 + (8-9)^2 + (12-9)^2 + (13-9)^2 + (10-9)^2$
   $= (-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 3^2 + 4^2 + 1^2$
   $= 4 + 1 + 1 + 9 + 16 + 1 = 32$

   যেহেতু $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 26 < \sum (x_i - a)^2 = 32$,
   সুতরাং প্রমাণিত হলো যে, গাণিতিক গড় হতে তথ্যমানগুলোর ব্যবধানের বর্গের সমষ্টি ক্ষুদ্রতম বা ক্ষুদ্রতর।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত নম্বরগুলো হলো: $7, 10, 8, 12, 13, 10$ এবং $n = 6$।

   ১. গাণিতিক গড় (AM):
   $\text{AM} = \bar{x} = \frac{7+10+8+12+13+10}{6} = \frac{60}{6} = 10$

   ২. জ্যামিতিক গড় (GM):
   $\text{GM} = (7 \times 10 \times 8 \times 12 \times 13 \times 10)^{\frac{1}{6}} = (873600)^{\frac{1}{6}} \approx 9.712$
   অতএব, $\text{GM}^2 \approx (9.712)^2 \approx 94.32$

   ৩. তরঙ্গ গড় (HM):
   $\text{HM} = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}} = \frac{6}{\frac{1}{7} + \frac{1}{10} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{10}}$
   $= \frac{6}{0.14286 + 0.10000 + 0.12500 + 0.08333 + 0.07692 + 0.10000} = \frac{6}{0.62811} \approx 9.5525$

   এখন, $\text{AM} \times \text{HM} = 10 \times 9.5525 = 95.525$

   আমরা জানি, কেবলমাত্র দুটি ধনাত্মক রাশিয়ার ক্ষেত্রে সর্বদা $\text{AM} \times \text{HM} = \text{GM}^2$ সম্পর্কটি সঠিক হয়। কিন্তু দুইয়ের অধিক ভিন্ন মানের ক্ষেত্রে এ সম্পর্কটি খাটে না।
   এখানে দেখা যাচ্ছে,
   $\text{AM} \times \text{HM} = 95.525$
   $\text{GM}^2 = 94.32$
   অর্থাৎ, $\text{AM} \times \text{HM} \neq \text{GM}^2$।

   অতএব, শিক্ষার্থীর মন্তব্যটি সঠিক নয়।