পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো অনুসন্ধান ক্ষেত্রের তথ্যসারির সংখ্যাত্মক বিবরণ বা সমষ্টিকে পরিসংখ্যান বলে। অন্যভাবে বলা যায়, কোনো ঘটনা বা বিষয়ের সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি এবং এসব তথ্য সংগ্রহ, সারণিবদ্ধকরণ, উপস্থাপন, বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যার বিজ্ঞানসম্মত পদ্ধতিই হলো পরিসংখ্যান।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শিক্ষার্থীদের উচ্চতা হলো আনুপাতিক পরিমাপন স্কেল (Ratio Scale)।
   কারণ উচ্চতা পরিমাপে একটি পরম বা প্রকৃত শূন্য বিন্দু (Absolute Zero) বিদ্যমান। পরম শূন্য বলতে বোঝায় এমন একটি অবস্থা যেখানে বৈশিষ্ট্যের কোনো অস্তিত্ব থাকে না (যেমন- শূন্য উচ্চতা মানে উচ্চতাহীনতা)। এছাড়া এই স্কেলে যেকোনো দুটি মানের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় করা অর্থবহ (যেমন- ৫ ফুট উচ্চতাবিশিষ্ট শিক্ষার্থী ২.৫ ফুট উচ্চতাবিশিষ্ট শিক্ষার্থীর দ্বিগুণ লম্বা)। তাই শিক্ষার্থীদের উচ্চতা পরিমাপে আনুপাতিক স্কেল ব্যবহৃত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে পাঁচজন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যান বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরসমূহ হলো:
   $x_1 = 5, x_2 = 8, x_3 = 10, x_4 = 12, x_5 = 15$
   এখানে শিক্ষার্থীর সংখ্যা, $n = 5$

   প্রশ্নমতে, নম্বরের দ্বিগুণের সাথে তিন যোগ করে যোগফলের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ নির্ণেয় রাশি হলো $\sum_{i=1}^{5} (2x_i + 3)$।

   আমরা জানি,
   $\sum_{i=1}^{5} (2x_i + 3) = 2 \sum_{i=1}^{5} x_i + \sum_{i=1}^{5} 3$
   $= 2(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 3 \times 5$
   $= 2(5 + 8 + 10 + 12 + 15) + 15$
   $= 2(50) + 15$
   $= 100 + 15$
   $= 115$

   অতএব, প্রাপ্ত নম্বরের দ্বিগুণের সাথে তিন যোগ করে প্রাপ্ত যোগফলের সমষ্টি ১১৫।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত নম্বরগুলো হলো: $x_1 = 5, x_2 = 8, x_3 = 10, x_4 = 12, x_5 = 15$।

   শ্রেণি শিক্ষকের মন্তব্য ছিল: "নম্বরগুলোর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা নম্বরগুলোর সমষ্টির বর্গ বড়" অর্থাৎ, $(\sum x_i)^2 > \sum x_i^2$।

   মন্তব্যটির সত্যতা যাচাইয়ের জন্য মানগুলো নির্ণয় করি:
   ১. নম্বরগুলোর সমষ্টি:
   $\sum_{i=1}^{5} x_i = 5 + 8 + 10 + 12 + 15 = 50$

   অতএব, নম্বরগুলোর সমষ্টির বর্গ:
   $(\sum_{i=1}^{5} x_i)^2 = (50)^2 = 2500$

   ২. নম্বরগুলোর বর্গের সমষ্টি:
   $\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 5^2 + 8^2 + 10^2 + 12^2 + 15^2$
   $= 25 + 64 + 100 + 144 + 225$
   $= 558$

   দেখা যাচ্ছে যে,
   $2500 > 558$
   অর্থাৎ, $(\sum_{i=1}^{5} x_i)^2 > \sum_{i=1}^{5} x_i^2$

   অতএব, নম্বরগুলোর বর্গের সমষ্টি (৫৫৮) অপেক্ষা নম্বরগুলোর সমষ্টির বর্গ (২৫০০) বৃহত্তর। সুতরাং, শ্রেণি শিক্ষকের মন্তব্যটি গাণিতিকভাবে সঠিক।