উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   x^2 = -22(y - 17)

   বা, (x - 0)^2 = 4 × (-22/4)(y - 17)

   উক্ত সমীকরণকে পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ (x - α)^2 = 4a(y - β) এর সাথে তুলনা করে পাই,
   শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β) = (0, 17)।

   উত্তর: (0, 17)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে পাই,
   উপবৃত্তের কেন্দ্র O(0, 0)।
   উপবৃত্তটি x-অক্ষকে A(3, 0) ও A'(-3, 0) বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে B(0, 5) ও B'(0, -5) বিন্দুতে ছেদ করে।

   সুতরাং, x-অক্ষ বরাবর অর্ধ-অক্ষের দৈর্ঘ্য a = 3 এবং y-অক্ষ বরাবর অর্ধ-অক্ষের দৈর্ঘ্য b = 5।
   যেহেতু b > a, উপবৃত্তটির বৃহদাক্ষ y-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, e = √(1 - a^2/b^2)
   = √(1 - 3^2/5^2)
   = √(1 - 9/25)
   = √(16/25) = 4/5

   অতএব, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক = (0, ±be)
   = (0, ± 5 × 4/5)
   = (0, ±4)

   উত্তর: (0, 4) এবং (0, -4)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখা যায়,
   কণিকটি একটি পরাবৃত্ত যার শীর্ষবিন্দু A এবং অক্ষ x-অক্ষ (y = 0)।

   দেওয়া আছে, OZ = 3 এবং OA = 4।
   যেহেতু শীর্ষবিন্দু A, x-অক্ষের ওপর মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে 4 একক দূরত্বে অবস্থিত, তাই শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক A(4, 0)।
   দ্বিকক্ষ বা নিয়ামকরেখা MM', x-অক্ষের ওপর Z বিন্দুতে লম্ব। OZ = 3 হওয়ায় Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 0)।

   শীর্ষবিন্দু থেকে দ্বিকক্ষের দূরত্ব, a = AZ = OA - OZ = 4 - 3 = 1।
   যেহেতু পরাবৃত্তটি ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে উন্মুক্ত এবং অক্ষ x-অক্ষ বরাবর,
   পরাবৃত্তটির আদর্শ সমীকরণ:
   (y - k)^2 = 4a(x - h)
   এখানে (h, k) = (4, 0) এবং a = 1।
   বা, (y - 0)^2 = 4 × 1 × (x - 4)
   বা, y^2 = 4(x - 4)

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = |4a| = |4 × 1| = 4 একক।

   উত্তর:
   আদর্শ সমীকরণ: y^2 = 4(x - 4)
   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: 4 একক।