∣x+yxyxx+zzyzy+z∣ \begin{vmatrix} x+y & x & y \ x & x+z & z \ y & z & y+z \end{vmatrix} এর মান কত?(What is the value of ∣x+yxyxx+zzyzy+z∣ \begin{vmatrix} x+y & x & y \ x & x+z & z \ y & z & y+z \end{vmatrix} ?)

Question

Accepted Answer

ঘ. 4xyz4xyz

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত নির্ণায়কটি হলো:
$$D = \begin{vmatrix} x+y & x & y \ x & x+z & z \ y & z & y+z \end{vmatrix}$$

প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারির যোগফল বিয়োগ করি, অর্থাৎ $R_1' = R_1 - (R_2 + R_3)$ প্রয়োগ করে পাই:
$$D = \begin{vmatrix} (x+y) - (x+y) & x - (x+2z) & y - (2y+z) \ x & x+z & z \ y & z & y+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -2z & -2y \ x & x+z & z \ y & z & y+z \end{vmatrix}$$

প্রথম সারি সাপেক্ষে নির্ণায়কটি বিস্তার করে পাই:
$$D = 0 - (-2z)[x(y+z) - yz] + (-2y)[xz - y(x+z)]$$
$$= 2z(xy + xz - yz) - 2y(xz - xy - yz)$$
$$= 2xyz + 2xz^2 - 2yz^2 - 2xyz + 2xy^2 + 2y^2z$$
সহজভাবে সরাসরি বিস্তার বা মান বসিয়ে যাচাই করা যায়:
ধরি, $x = 1, y = 2, z = 3$
$$D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 3(20-9) - 1(5-6) + 2(3-8) = 3(11) + 1 - 10 = 33 + 1 - 10 = 24$$
যেহেতু $4xyz = 4(1)(2)(3) = 24$, সুতরাং নির্ণায়কটির সঠিক মান $4xyz$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন