উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, অধিবৃত্তের পরামিতিক স্থানাঙ্ক (x, y)।
   এখানে, x = √3 sec θ => sec θ = x/√3
   এবং y = 2 tan θ => tan θ = y/2

   আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1
   => (x/√3)² - (y/2)² = 1
   => x²/3 - y²/4 = 1
   => 4x² - 3y² = 12

   নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ: x²/3 - y²/4 = 1 বা 4x² - 3y² - 12 = 0।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রদত্ত সমীকরণ:
   5x² + 9y² - 30x = 0
   => 5(x² - 6x) + 9y² = 0
   => 5(x² - 6x + 9) + 9y² = 45
   => 5(x - 3)² + 9y² = 45

   উভয়পক্ষকে 45 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   (x - 3)² / 9 + y² / 5 = 1
   যা (X²/a²) + (Y²/b²) = 1 আকারের উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ, যেখানে X = x - 3, Y = y, a² = 9 (বা a = 3) এবং b² = 5 (বা b = √5)।
   যেহেতু a > b > 0 এবং সমীকরণটি একটি উপবৃত্তের আদর্শ আকারের সাথে মেলে, সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। (দেখানো হলো)

   উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, e = √(1 - b²/a²) = √(1 - 5/9) = √(4/9) = 2/3

   উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
   X = ±ae
   => x - 3 = ± 3 × (2/3)
   => x - 3 = ±2

   সুতরাং,
   x - 3 = 2 => x = 5
   x - 3 = -2 => x = 1

   অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: x = 5 এবং x = 1 (বা x - 5 = 0 ও x - 1 = 0)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,
   অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় S(8, 3) ও S'(16, 3)।
   উপকেন্দ্রদ্বয়ের y-স্থানাঙ্ক সমান (y = 3), সুতরাং অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল।

   অধিবৃত্তের কেন্দ্র C = উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবিন্দু = ((8 + 16)/2, (3 + 3)/2) = (12, 3)।

   উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, 2ae = √[(16 - 8)² + (3 - 3)²] = 8
   => ae = 4

   দেওয়া আছে, উৎকেন্দ্রিকতা e = 4।
   অতএব, a × 4 = 4 => a = 1

   আমরা জানি, অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে:
   b² = a²(e² - 1)
   => b² = 1²(4² - 1) = 1(16 - 1) = 15

   যেহেতু আড় অক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল এবং কেন্দ্র (h, k) = (12, 3), অধিবৃত্তের সমীকরণ হবে:
   (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1
   => (x - 12)² / 1 - (y - 3)² / 15 = 1
   => 15(x - 12)² - (y - 3)² = 15
   => 15(x² - 24x + 144) - (y² - 6y + 9) = 15
   => 15x² - 360x + 2160 - y² + 6y - 9 - 15 = 0
   => 15x² - y² - 360x + 6y + 2136 = 0

   নির্ণেয় অধিবৃত্তটির সমীকরণ: (x - 12)² - (y - 3)²/15 = 1 বা 15x² - y² - 360x + 6y + 2136 = 0।