পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর (ডেল, $\vec{\nabla}$) এর সাথে কোনো একটি ব্যবকলনযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্রের ভেক্টর গুণন বা ক্রস গুণনকে ঐ ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল (Curl) বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের পাদবিন্দু বা আদিবিন্দু কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে সীমাবদ্ধ বা স্থির থাকে, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলা হয়।

   প্রদত্ত ভেক্টর $\vec{r} = 5\hat{i} + 3\hat{j}$ একটি অবস্থান ভেক্টর। প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে যেকোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য অবস্থান ভেক্টর ব্যবহৃত হয়। এই ভেক্টরের পাদবিন্দু সর্বদা মূলবিন্দু $(0, 0)$ তে নির্দিষ্ট বা স্থির থাকে। যেহেতু এর পাদবিন্দুকে ইচ্ছামতো পরিবর্তন করা যায় না, তাই $\vec{r} = 5\hat{i} + 3\hat{j}$ একটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, স্রোতের বেগ $u$ এবং স্থির পানিতে নৌকার বেগ $v$।
   উদ্দীপক মতে,
   স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ, $v + u = 20\text{ kmh}^{-1}$ ...(i)
   স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ, $v - u = 10\text{ kmh}^{-1}$ ...(ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
   $2v = 30\text{ kmh}^{-1} \implies v = 15\text{ kmh}^{-1}$

   (i) নং হতে পাই,
   $u = 20 - 15 = 5\text{ kmh}^{-1}$

   নদীর এক পারের A বিন্দু হতে সোজা অপর পারের B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে নৌকার লব্ধি বেগ নদীর পাড়ের (স্রোতের) সাথে লম্ব অর্থাৎ $90^\circ$ কোণে কাজ করবে।
   ধরি, নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে $\alpha$ কোণে চালনা করতে হবে।

   আমরা জানি,
   $\tan 90^\circ = \frac{v \sin\alpha}{u + v \cos\alpha}$
   $\implies \frac{1}{0} = \frac{v \sin\alpha}{u + v \cos\alpha}$
   $\implies u + v \cos\alpha = 0$
   $\implies \cos\alpha = -\frac{u}{v}$
   $\implies \cos\alpha = -\frac{5}{15} = -\frac{1}{3}$
   $\implies \alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109.47^\circ$

   অতএব, সোজা অপর পারের B বিন্দুতে পৌঁছাতে হলে নৌকাটিকে স্রোতের দিকের সাথে প্রায় $109.47^\circ$ কোণে চালনা করতে হবে।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'গ' হতে প্রাপ্ত,
   নৌকার বেগ, $v = 15\text{ kmh}^{-1}$
   স্রোতের বেগ, $u = 5\text{ kmh}^{-1}$
   নদীর বিস্তার, $d = 2\text{ km}$

   প্রথম ক্ষেত্রে (সোজা অপর পাড়ে পৌঁছানোর ক্ষেত্রে):
   নৌকাটি স্রোতের দিকের সাথে $\alpha = 109.47^\circ$ কোণে চালনা করা হয়েছিল।
   এক্ষেত্রে পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_1 = \frac{d}{v \sin\alpha} = \frac{2}{15 \times \sin(109.47^\circ)} = \frac{2}{\sqrt{15^2 - 5^2}} = \frac{2}{\sqrt{200}} \approx 0.1414\text{ h} \approx 8.49\text{ মিনিট}$

   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (সোজাসুজি রওয়ানা করার ক্ষেত্রে):
   নৌকাটি A বিন্দু হতে সোজাসুজি অর্থাৎ স্রোতের সাথে $\alpha' = 90^\circ$ কোণে রওয়ানা করে।
   এক্ষেত্রে পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_2 = \frac{d}{v \sin 90^\circ} = \frac{2}{15 \times 1} \approx 0.1333\text{ h} \approx 8\text{ মিনিট}$

   তুলনা করে দেখা যায়,
   $t_2 < t_1$
   সময়ের পার্থক্য $= t_1 - t_2 \approx 0.1414\text{ h} - 0.1333\text{ h} = 0.0081\text{ h} \approx 0.49\text{ মিনিট} \approx 29.4\text{ সেকেন্ড}$

   সুতরাং, নৌকাটি A বিন্দু হতে সোজাসুজি রওয়ানা করলে নদী পার হতে পূর্বের চেয়ে সময় কম লাগত।