উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

px+qy+rz=1\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}=1
p2x+q2y+r2z=ap^{2} x+q^{2} y+r^{2} z=a
(p3−1)x+(q3−1)y+(r3−1)z=a2\left(\mathrm{p}^{3}-1\right) \mathrm{x}+\left(\mathrm{q}^{3}-1\right) \mathrm{y}+\left(\mathrm{r}^{3}-1\right) \mathrm{z}=\mathrm{a}^{2}

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, [43−4−3]\left[\begin{array}{rr}4 & 3 \ -4 & -3\end{array}\right] একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকের সমীকরণগুলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, pqr=1p q r=1, যখন Det⁡(A)=0\operatorname{Det}(A)=0 এবং p≠q≠rp \neq q \neq r.

    (2)
  3. গ)

    p = 1, q = 2, r = –1 হলে, A–1 নির্ণেয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, M=[43−4−3]M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}

    এখন,
    M2=M⋅M=[43−4−3][43−4−3]M^2 = M \cdot M = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}
    =[4⋅4+3(−4)4⋅3+3(−3)−4⋅4+(−3)(−4)−4⋅3+(−3)(−3)]= \begin{bmatrix} 4 \cdot 4 + 3(-4) & 4 \cdot 3 + 3(-3) \\ -4 \cdot 4 + (-3)(-4) & -4 \cdot 3 + (-3)(-3) \end{bmatrix}
    =[16−1212−9−16+12−12+9]= \begin{bmatrix} 16 - 12 & 12 - 9 \\ -16 + 12 & -12 + 9 \end{bmatrix}
    =[43−4−3]=M= \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{bmatrix} = M

    যেহেতু M2=MM^2 = M, সুতরাং প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি সমঘাতী (Idempotent) ম্যাট্রিক্স। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে প্রদত্ত সমীকরণজোট:
    px+qy+rz=1px + qy + rz = 1
    p2x+q2y+r2z=ap^2x + q^2y + r^2z = a
    (p3−1)x+(q3−1)y+(r3−1)z=a2(p^3-1)x + (q^3-1)y + (r^3-1)z = a^2

    সমীকরণগুলোকে AX=BAX = B আকারে প্রকাশ করলে পাই:
    [pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1][xyz]=[1aa2]\begin{bmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3-1 & q^3-1 & r^3-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{bmatrix}
    যেখানে, A=[pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1]A = \begin{bmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3-1 & q^3-1 & r^3-1 \end{bmatrix}, X=[xyz]X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, এবং B=[1aa2]B = \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{bmatrix}।

    শর্তানুসারে, Det⁡(A)=0\operatorname{Det}(A) = 0
    বা, ∣A∣=∣pqrp2q2r2p3−1q3−1r3−1∣=0|A| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3-1 & q^3-1 & r^3-1 \end{vmatrix} = 0

    নির্ণায়কের ধর্মাবলি ব্যবহার করে:
    ∣pqrp2q2r2p3q3r3∣−∣pqrp2q2r2111∣=0\begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0

    প্রথম নির্ণায়ক থেকে C1,C2,C3C_1, C_2, C_3 থেকে যথাক্রমে p,q,rp, q, r কমন নিয়ে এবং দ্বিতীয় নির্ণায়কের সারি পুনর্বিন্যাস করে:
    pqr∣111pqrp2q2r2∣−(−1)2∣111pqrp2q2r2∣=0pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} - (-1)^2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = 0
    বা, (pqr−1)∣111pqrp2q2r2∣=0(pqr - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = 0

    এখানে,
    ∣111pqrp2q2r2∣=(p−q)(q−r)(r−p)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} = (p-q)(q-r)(r-p)

    অতএব, (pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p)=0(pqr - 1)(p-q)(q-r)(r-p) = 0

    যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে p≠q≠rp \neq q \neq r, তাই:
    p−q≠0p - q \neq 0, q−r≠0q - r \neq 0, r−p≠0r - p \neq 0

    সুতরাং,
    pqr−1=0pqr - 1 = 0
      ⟹  pqr=1\implies pqr = 1 (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    p=1,q=2,r=−1p = 1, q = 2, r = -1 হলে,
    A=[12−11222(−1)213−123−1(−1)3−1]=[12−114107−2]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1^2 & 2^2 & (-1)^2 \\ 1^3-1 & 2^3-1 & (-1)^3-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & -2 \end{bmatrix}

    AA এর নির্ণায়ক:
    ∣A∣=1(4(−2)−1(7))−2(1(−2)−1(0))+(−1)(1(7)−4(0))|A| = 1(4(-2) - 1(7)) - 2(1(-2) - 1(0)) + (-1)(1(7) - 4(0))
    =1(−8−7)−2(−2−0)−1(7−0)= 1(-8 - 7) - 2(-2 - 0) - 1(7 - 0)
    =−15+4−7=−18≠0= -15 + 4 - 7 = -18 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, সুতরাং A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA ম্যাট্রিক্সের সহগুণকসমূহ:
    A11=+∣417−2∣=−8−7=−15A_{11} = +\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = -8 - 7 = -15
    A12=−∣110−2∣=−(−2−0)=2A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2
    A13=+∣1407∣=7−0=7A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 7 - 0 = 7

    A21=−∣2−17−2∣=−(−4+7)=−3A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = -(-4 + 7) = -3
    A22=+∣1−10−2∣=−2−0=−2A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2
    A23=−∣1207∣=−(7−0)=−7A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = -(7 - 0) = -7

    A31=+∣2−141∣=2−(−4)=6A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2 - (-4) = 6
    A32=−∣1−111∣=−(1−(−1))=−2A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - (-1)) = -2
    A33=+∣1214∣=4−2=2A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 2 = 2

    সহগুণক ম্যাট্রিক্সের রূপান্তর (Adjoint of A):
    adj⁡(A)=[−1527−3−2−76−22]T=[−15−362−2−27−72]\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} -15 & 2 & 7 \\ -3 & -2 & -7 \\ 6 & -2 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -15 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & -2 \\ 7 & -7 & 2 \end{bmatrix}

    অতএব,
    A−1=1∣A∣adj⁡(A)=−118[−15−362−2−27−72]=[5616−13−191919−718718−19]A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = -\frac{1}{18} \begin{bmatrix} -15 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & -2 \\ 7 & -7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ -\frac{7}{18} & \frac{7}{18} & -\frac{1}{9} \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন