উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   আদিবেগ, $u = 20\text{ ms}^{-1}$
   ত্বরণ, $f = 2\text{ ms}^{-2}$

   $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_t = u + \frac{1}{2} f (2t - 1)$

   ৫ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব:
   $s_5 = 20 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2 \times 5 - 1) = 20 + 9 = 29\text{ m}$

   উত্তর: 29 মিটার।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একই অনুভূমিক পাল্লার জন্য দুটি গতিপথের প্রক্ষেপক কোণ যথাক্রমে $\alpha$ ও $(90^\circ - \alpha)$ হলে,
   $H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ এবং $H_2 = \frac{u^2 \cos^2 \alpha}{2g}$

   উভয়ের গুণফল:
   $H_1 H_2 = \frac{u^4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{4g^2} = \frac{(u^2 \sin 2\alpha)^2}{16g^2} = \frac{R^2}{16}$
   $\therefore R = 4\sqrt{H_1 H_2}$

   দেওয়া আছে, $H_1 = 4\text{ m}$ এবং $H_2 = 6\text{ m}$
   $\therefore R = 4\sqrt{4 \times 6} = 8\sqrt{6}\text{ m} \approx 19.60\text{ m}$

   উত্তর: $8\sqrt{6}\text{ m}$ (বা প্রায় $19.60\text{ m}$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কণাটির আদিবেগ $u$ এবং সুষম ত্বরণ $f$।

   ১ম $p$ সময়ে $s$ দূরত্বের জন্য:
   $s = u p + \frac{1}{2} f p^2 \implies \frac{s}{p} = u + \frac{1}{2} f p$ ...(i)

   ২য় $q$ সময়ে $s$ দূরত্বের জন্য:
   $s = (u + f p)q + \frac{1}{2} f q^2 \implies \frac{s}{q} = u + f p + \frac{1}{2} f q$ ...(ii)

   ৩য় $r$ সময়ে $s$ দূরত্বের জন্য:
   $s = [u + f(p + q)]r + \frac{1}{2} f r^2 \implies \frac{s}{r} = u + f(p + q) + \frac{1}{2} f r$ ...(iii)

   (i) - (ii) + (iii) করে পাই:
   $\frac{s}{p} - \frac{s}{q} + \frac{s}{r} = u + \frac{1}{2} f (p + q + r)$ ...(iv)

   আবার, মোট $(p + q + r)$ সময়ে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $3s$:
   $3s = u(p + q + r) + \frac{1}{2} f (p + q + r)^2$
   $\implies \frac{3s}{p + q + r} = u + \frac{1}{2} f (p + q + r)$ ...(v)

   (iv) ও (v) হতে পাই:
   $\frac{s}{p} - \frac{s}{q} + \frac{s}{r} = \frac{3s}{p + q + r}$

   উভয়পক্ষকে $s$ দ্বারা ভাগ করে:
   $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{3}{p + q + r}$ (প্রমাণিত)