উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    u বেগে এবং আনুভূমিকের সাথে α \alpha কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে। প্রমাণ কর যে, সর্বাধিক উচ্চতা, H=u2sin⁡2α2 g\mathrm{H}=\frac{\mathrm{u}^2 \sin ^2 \alpha}{2 \mathrm{~g}}.

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ সাঁতারুর AB দূরত্ব অতিক্রম করতে t সেকেন্ড এবং AC দূরত্ব অতিক্রম করতে t′ t^{\prime} সেকেন্ড সময় লাগলে। দেখাও যে, t:t′=u+v:u−vt: t^{\prime}=\sqrt{u+v}: \sqrt{u-v}

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রক্ষিপ্ত বস্তুর আনুভূমিক পাল্লা নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, একটি বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে α\alpha কোণে uu আদিবেগে প্রক্ষেপ করা হলো।
    বস্তুটির আদিবেগের উল্লম্ব উপাংশ, uy=usin⁡αu_y = u \sin \alpha
    উল্লম্ব দিকে অভিকর্ষজ ত্বরণ gg সর্বদা নিচের দিকে ক্রিয়াশীল।
    সর্বোচ্চ উচ্চতা HH-এ পৌঁছালে বস্তুর উল্লম্ব বেগ শূন্য হয়, অর্থাৎ vy=0v_y = 0।

    আমরা জানি,
    vy2=uy2−2gHv_y^2 = u_y^2 - 2gH
    বা, 0=(usin⁡α)2−2gH0 = (u \sin \alpha)^2 - 2gH
    বা, 2gH=u2sin⁡2α2gH = u^2 \sin^2 \alpha
    ∴H=u2sin⁡2α2g\therefore H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, নদীর প্রস্থ AB=dAB = d এবং AC=AB=dAC = AB = d।

    দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী, সাঁতারুর বেগ =u= u, স্রোতের বেগ =v= v (যেখানে u>vu > v)।

    ১ম ক্ষেত্রে (AB দূরত্ব অতিক্রমের ক্ষেত্রে):
    সাঁতারু সোজাসুজি অপর পাড়ে BB বিন্দুতে পৌঁছাতে চাইলে নদীর প্রস্থ বরাবর তার লব্ধি বেগ হতে হবে।
    লব্ধি বেগ, w=u2−v2w = \sqrt{u^2 - v^2}
    অতএব, ABAB দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময়,
    t=dw=du2−v2t = \frac{d}{w} = \frac{d}{\sqrt{u^2 - v^2}}

    ২য় ক্ষেত্রে (AC দূরত্ব অতিক্রমের ক্ষেত্রে):
    ACAC পথটি নদীর তীর ঘেঁষে স্রোতের অনুকূল পথ।
    স্রোতের অনুকূলে সাঁতারুর কার্যকরী বেগ =u+v= u + v
    অতএব, ACAC দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময়,
    t′=du+vt' = \frac{d}{u + v}

    এখন,
    tt′=du2−v2du+v=u+vu2−v2=u+v(u+v)(u−v)=u+vu−v\frac{t}{t'} = \frac{\frac{d}{\sqrt{u^2 - v^2}}}{\frac{d}{u + v}} = \frac{u + v}{\sqrt{u^2 - v^2}} = \frac{u + v}{\sqrt{(u + v)(u - v)}} = \frac{\sqrt{u + v}}{\sqrt{u - v}}

    ∴t:t′=u+v:u−v\therefore t : t' = \sqrt{u + v} : \sqrt{u - v} (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ হতে,
    প্রক্ষেপণ কোণ, α=45∘\alpha = 45^\circ
    ধরি, আনুভূমিক পাল্লা =R= R

    প্রক্ষেপকের গতিপথের সমীকরণ:
    y=xtan⁡α−gx22u2cos⁡2αy = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha}
    আমরা জানি, আনুভূমিক পাল্লা R=u2sin⁡2αg=2u2sin⁡αcos⁡αgR = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2 u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}
      ⟹  g2u2cos⁡2α=tan⁡αR\implies \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \alpha} = \frac{\tan \alpha}{R}

    অতএব,
    y=xtan⁡α(1−xR)y = x \tan \alpha \left(1 - \frac{x}{R}\right)
    যেহেতু α=45∘\alpha = 45^\circ, তাই tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1
    ∴y=x(1−xR)\therefore y = x \left(1 - \frac{x}{R}\right)

    উদ্দীপক অনুযায়ী, y=AE=BD=4.5y = AE = BD = 4.5 মিটারের জন্য প্রক্ষেপকের গতিপথে দুটি বিন্দু EE ও DD পাওয়া যায়।
    ধরি, AA বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x1,0)(x_1, 0) এবং BB বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x2,0)(x_2, 0)।
    তাহলে, x1x_1 এবং x2x_2 হলো সমীকরণ 4.5=x(1−xR)4.5 = x \left(1 - \frac{x}{R}\right)-এর দুটি মূল।

    বা, 4.5=x−x2R4.5 = x - \frac{x^2}{R}
    বা, x2−Rx+4.5R=0x^2 - R x + 4.5 R = 0

    মূলদ্বয়ের যোগফল, x1+x2=Rx_1 + x_2 = R
    মূলদ্বয়ের গুণফল, x1x2=4.5Rx_1 x_2 = 4.5 R

    চিত্রানুসারে,
    AB=x2−x1=210AB = x_2 - x_1 = 2\sqrt{10} মিটার

    আমরা জানি,
    (x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2
    বা, (210)2=R2−4(4.5R)(2\sqrt{10})^2 = R^2 - 4(4.5 R)
    বা, 40=R2−18R40 = R^2 - 18 R
    বা, R2−18R−40=0R^2 - 18 R - 40 = 0
    বা, R2−20R+2R−40=0R^2 - 20 R + 2 R - 40 = 0
    বা, (R−20)(R+2)=0(R - 20)(R + 2) = 0

    যেহেতু পাল্লা RR ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই R≠−2R \neq -2।
    ∴R=20\therefore R = 20 মিটার।

    সুতরাং, প্রক্ষিপ্ত বস্তুর আনুভূমিক পাল্লা ২০ মিটার।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন