উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: কণিকটি চিত্রে প্রদর্শিত শীর্ষবিন্দু A, উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামক MZ বিশিষ্ট পরাবৃত্ত। | শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক ( 2 – 3 ) মূলত (2, -3) মুদ্রণপ্রমাদ।

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} + 1 = 0
   \implies \frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{4} = 1

   এটি \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 আকারের অধিবৃত্ত, যেখানে a^2 = 4 এবং b^2 = 3।

   আমরা জানি, উৎকেন্দ্রিকতা e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}
   = \sqrt{1 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}।

   নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা: \sqrt{\frac{7}{3}}।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: কণিকটি চিত্রে প্রদর্শিত শীর্ষবিন্দু A, উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামক MZ বিশিষ্ট পরাবৃত্ত। | শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক ( 2 – 3 ) মূলত (2, -3) মুদ্রণপ্রমাদ।

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   প্রদত্ত সমীকরণ: y^2 = 6x
   বা, y^2 = 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right) x \implies a = \frac{3}{2}

   ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ বিন্দু P(x, y)।
   পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক দূরত্ব SP = x + a
   প্রশ্নমতে, SP = 6
   বা, x + \frac{3}{2} = 6 \implies x = \frac{9}{2}

   x = \frac{9}{2} সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   y^2 = 6 \cdot \frac{9}{2} = 27 \implies y = \pm 3\sqrt{3}

   অতএব, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক: \left(\frac{9}{2}, 3\sqrt{3}\right) অথবা \left(\frac{9}{2}, -3\sqrt{3}\right)।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: কণিকটি চিত্রে প্রদর্শিত শীর্ষবিন্দু A, উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামক MZ বিশিষ্ট পরাবৃত্ত। | শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক ( 2 – 3 ) মূলত (2, -3) মুদ্রণপ্রমাদ।

   উদ্দীপকের কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র S(-1, 1) এবং শীর্ষবিন্দু A(2, -3)।

   ধরি, নিয়ামক রেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু Z(x_1, y_1)।
   শীর্ষবিন্দু A হলো SZ-এর মধ্যবিন্দু।
   \therefore \frac{-1 + x_1}{2} = 2 \implies x_1 = 5
   এবং \frac{1 + y_1}{2} = -3 \implies y_1 = -7
   সুতরাং, Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, -7)।

   অক্ষরেখা SA-এর ঢাল m = \frac{-3 - 1}{2 - (-1)} = -\frac{4}{3}
   নিয়ামক রেখা অক্ষরেখার ওপর লম্ব হওয়ায় নিয়ামকের ঢাল m' = \frac{3}{4}।

   অতএব, Z(5, -7) বিন্দুগামী নিয়ামকের সমীকরণ:
   y - (-7) = \frac{3}{4}(x - 5)
   বা, 4y + 28 = 3x - 15
   বা, 3x - 4y - 43 = 0

   পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে (SP = PM):
   (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = \frac{(3x - 4y - 43)^2}{3^2 + (-4)^2}
   বা, 25(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2) = 9x^2 + 16y^2 + 1849 - 24xy - 258x + 344y
   বা, 16x^2 + 24xy + 9y^2 + 308x - 394y - 1799 = 0

   এটিই নির্ণেয় কণিকটির সমীকরণ।