উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^2 + x + 1$
   $\therefore f(x) = 0 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$

   এখানে, $a = 1, b = 1, c = 1$
   সমীকরণটির নিশ্চয়ক (Discriminant), $D = b^2 - 4ac$
   $= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$

   যেহেতু নিশ্চয়ক ঋণাত্মক, তাই $f(x) = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল (বা অবাস্তব) ও অসমান।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\{f(x)\}^n = (x^2 + x + 1)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + a_6 x^6 + \dots + a_{2n} x^{2n}$ ... (1)

   এককের তিনটি ঘনমূল $1, \omega, \omega^2$, যেখানে $1 + \omega + \omega^2 = 0$ এবং $\omega^3 = 1$।

   (1) নং সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই,
   $(1^2 + 1 + 1)^n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + \dots$
   $\Rightarrow 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + \dots$ ... (2)

   (1) নং সমীকরণে $x = \omega$ বসিয়ে পাই,
   $(\omega^2 + \omega + 1)^n = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3\omega^3 + a_4\omega^4 + a_5\omega^5 + a_6\omega^6 + \dots$
   $\Rightarrow 0^n = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3(1) + a_4\omega + a_5\omega^2 + a_6(1) + \dots$
   $\Rightarrow 0 = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3 + a_4\omega + a_5\omega^2 + a_6 + \dots$ ... (3)

   (1) নং সমীকরণে $x = \omega^2$ বসিয়ে পাই,
   $((\omega^2)^2 + \omega^2 + 1)^n = (\omega^4 + \omega^2 + 1)^n = (\omega + \omega^2 + 1)^n = 0$
   $\Rightarrow 0 = a_0 + a_1\omega^2 + a_2\omega^4 + a_3\omega^6 + a_4\omega^8 + a_5\omega^{10} + a_6\omega^{12} + \dots$
   $\Rightarrow 0 = a_0 + a_1\omega^2 + a_2\omega + a_3 + a_4\omega^2 + a_5\omega + a_6 + \dots$ ... (4)

   এখন, (2), (3) ও (4) যোগ করে পাই:
   $3^n + 0 + 0 = a_0(1+1+1) + a_1(1+\omega+\omega^2) + a_2(1+\omega^2+\omega) + a_3(1+1+1) + a_4(1+\omega+\omega^2) + a_5(1+\omega^2+\omega) + a_6(1+1+1) + \dots$

   যেহেতু $1 + \omega + \omega^2 = 0$, তাই:
   $3^n = 3a_0 + 0 + 0 + 3a_3 + 0 + 0 + 3a_6 + \dots$
   $\Rightarrow 3^n = 3(a_0 + a_3 + a_6 + \dots)$
   $\Rightarrow a_0 + a_3 + a_6 + \dots = \frac{3^n}{3} = 3^{n-1}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$
   যেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$,
   $\therefore \alpha + \beta = -1$ এবং $\alpha\beta = 1$

   নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়:
   $y_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ এবং $y_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$

   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $y_1 + y_2 = \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right) + \left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right)$
   $= (\alpha + \beta) + \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)$
   $= (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$
   $= -1 + \frac{-1}{1} = -1 - 1 = -2$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $y_1 \cdot y_2 = \left(\alpha + \frac{1}{\beta}\right)\left(\beta + \frac{1}{\alpha}\right)$
   $= \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta}$
   $= 1 + 2 + \frac{1}{1} = 4$

   অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - (-2)x + 4 = 0$
   $\Rightarrow x^2 + 2x + 4 = 0$।