পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের মান এক একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। কোনো অশূন্য ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে ওই ভেক্টরের দিকে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নৌকা যখন গুণ টানা হয়, তখন প্রযুক্ত টান বল $F$ এর দুটি উপাংশ থাকে: একটি অনুভূমিক উপাংশ $F\cos\theta$, যা নৌকাকে সামনের দিকে এগিয়ে নিয়ে যায় এবং অপরটি উলম্ব উপাংশ $F\sin\theta$, যা নৌকাকে পাড়ের দিকে টেনে নেয়। রশি যত লম্বা হয়, নদীর পাড়ের সাথে রশির কোণ $\theta$ তত ছোট হয়। $\theta$ হ্রাস পেলে $\cos\theta$-এর মান বৃদ্ধি পায় এবং $\sin\theta$-এর মান হ্রাস পায়। এর ফলে নৌকাকে সামনের দিকে চালনা করার কার্যকর বল ($F\cos\theta$) বৃদ্ধি পায় এবং নৌকা পাড়ের দিকে চলে যাওয়ার প্রবণতা ($F\sin\theta$) কমে যায়। তাই নৌকা সহজে সামনে এগিয়ে নেওয়ার জন্য লম্বা রশি দিয়ে গুণ টানা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুযায়ী,
   নদীর প্রস্থ, $d = 2.2\text{ km}$
   স্রোতের বেগ, $u = 3\text{ kmh}^{-1}$
   প্রথম সাঁতারুর বেগ, $v = 5\text{ kmh}^{-1}$
   সাঁতারুর বেগ ও স্রোতের বেগের মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 120^\circ$

   ধরি, প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ $w$।
   ভেক্টরের সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
   $w = \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv\cos\alpha}$
   $w = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2 \times 3 \times 5 \times \cos(120^\circ)}$
   $w = \sqrt{9 + 25 + 30 \times \left(-\frac{1}{2}\right)}$
   $w = \sqrt{34 - 15}$
   $w = \sqrt{19}\text{ kmh}^{-1} \approx 4.36\text{ kmh}^{-1}$

   অতএব, প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ $4.36\text{ kmh}^{-1}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   নদীর প্রস্থ, $d = 2.2\text{ km}$
   স্রোতের বেগ, $u = 3\text{ kmh}^{-1}$
   উভয় সাঁতারুর নিজস্ব বেগ, $v = 5\text{ kmh}^{-1}$

   প্রথম সাঁতারুর ক্ষেত্রে:
   স্রোতের দিকের সাথে সাঁতার শুরুর কোণ, $\alpha_1 = 120^\circ$
   নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_1 = \frac{d}{v \sin \alpha_1}$
   $t_1 = \frac{2.2}{5 \times \sin(120^\circ)}$ ঘণ্টা
   $t_1 = \frac{2.2}{5 \times 0.866} \approx 0.508\text{ h} = 30.48\text{ মিনিট}$

   দ্বিতীয় সাঁতারুর ক্ষেত্রে:
   চিত্র-২ অনুযায়ী সাঁতারু স্রোতের সাথে লম্বভাবে সাঁতার শুরু করে, অর্থাৎ কোণ $\alpha_2 = 90^\circ$
   নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়,
   $t_2 = \frac{d}{v \sin \alpha_2}$
   $t_2 = \frac{2.2}{5 \times \sin(90^\circ)}$ ঘণ্টা
   $t_2 = \frac{2.2}{5 \times 1} = 0.44\text{ h} = 26.4\text{ মিনিট}$

   গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, $t_2 < t_1$।
   যেহেতু নদী পার হতে দ্বিতীয় সাঁতারুর সময় কম লেগেছে, সেহেতু প্রতিযোগিতায় দ্বিতীয় সাঁতারু প্রথম সাঁতারুর আগেই নদীর অপর পাড়ে পৌঁছে বিজয়ী হবে।