উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 10x$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = 3x^2 - 6x + 10$
   $= 3(x^2 - 2x) + 10$
   $= 3(x^2 - 2x + 1) + 10 - 3$
   $= 3(x - 1)^2 + 7$

   যেহেতু যেকোনো বাস্তব $x$-এর জন্য $(x - 1)^2 \ge 0$,
   সুতরাং $f'(x) = 3(x - 1)^2 + 7 \ge 7 > 0$, অর্থাৎ সকল বাস্তব মানের জন্য $f'(x) > 0$।

   অতএব, $x^3 - 3x^2 + 10x$ একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $y = ax^2 + \frac{b}{\sqrt{x}} = ax^2 + bx^{-\frac{1}{2}}$

   $x$-এর সাপেক্ষে প্রথম অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = \frac{dy}{dx} = 2ax - \frac{1}{2}bx^{-\frac{3}{2}}$

   উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $xy_1 = 2ax^2 - \frac{1}{2}bx^{-\frac{1}{2}} \quad \dots (1)$

   আবার, $y_1$-কে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = 2a - \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)bx^{-\frac{5}{2}} = 2a + \frac{3}{4}bx^{-\frac{5}{2}}$

   উভয়পক্ষকে $2x^2$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $2x^2y_2 = 4ax^2 + \frac{3}{2}bx^{-\frac{1}{2}} \quad \dots (2)$

   এখন সমীকরণ (2) হতে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে পাই,
   $2x^2y_2 - xy_1 = \left(4ax^2 + \frac{3}{2}bx^{-\frac{1}{2}}\right) - \left(2ax^2 - \frac{1}{2}bx^{-\frac{1}{2}}\right)$
   $= 2ax^2 + 2bx^{-\frac{1}{2}}$
   $= 2\left(ax^2 + \frac{b}{\sqrt{x}}\right)$
   $= 2y$

   অতএব, $2x^2y_2 - xy_1 = 2y$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, একটি সংখ্যা $x$।
   যেহেতু সংখ্যা দুটির যোগফল $12$, অপর সংখ্যাটি হবে $(12 - x)$।

   শর্তানুসারে, একটি সংখ্যার ঘন এবং অপর সংখ্যার গুণফল:
   $P(x) = x^3(12 - x) = 12x^3 - x^4$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $P'(x) = 36x^2 - 4x^3$
   $P''(x) = 72x - 12x^2$

   $P(x)$ এর গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মানের জন্য $P'(x) = 0$ হবে:
   $36x^2 - 4x^3 = 0$
   $\Rightarrow 4x^2(9 - x) = 0$

   যেহেতু সংখ্যাটির ঘন এর গুণফল বিবেচনা করা হচ্ছে এবং $x = 0$ হলে গুণফল শূন্য হয়ে যায়, তাই $x \neq 0$।
   অতএব, $9 - x = 0 \Rightarrow x = 9$

   এখন, $x = 9$ বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজের মান:
   $P''(9) = 72(9) - 12(9)^2 = 648 - 12(81) = 648 - 972 = -324 < 0$

   যেহেতু $P''(9) < 0$, সুতরাং $x = 9$ এর জন্য গুণফল $P(x)$ গরিষ্ঠ হবে।

   অতএব, একটি সংখ্যা $9$ এবং অপর সংখ্যাটি $(12 - 9) = 3$।

   নির্ণেয় সংখ্যা দুটি হলো $9$ এবং $3$ (বা $3$ এবং $9$)।