উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$
   $\implies \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y$
   $\implies \sin^{-1} x = \cos^{-1} y \quad [\because \sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2}]$
   $\implies x = \sin(\cos^{-1} y)$
   $\implies x = \sin\left(\sin^{-1} \sqrt{1 - y^2}\right)$
   $\implies x = \sqrt{1 - y^2}$
   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $x^2 = 1 - y^2$
   $\therefore x^2 + y^2 = 1$ (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে পাই,
   $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $\angle B = 90^\circ$, লম্ব $AB = 3$ এবং অতিভুজ $AC = 5$।

   পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
   $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

   দেওয়া আছে, $\angle ACB = 2x$
   $\therefore \tan 2x = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4}$

   আমরা জানি,
   $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$
   $\implies \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{3}{4}$
   $\implies 8\tan x = 3 - 3\tan^2 x$
   $\implies 3\tan^2 x + 8\tan x - 3 = 0$
   $\implies 3\tan^2 x + 9\tan x - \tan x - 3 = 0$
   $\implies 3\tan x(\tan x + 3) - 1(\tan x + 3) = 0$
   $\implies (3\tan x - 1)(\tan x + 3) = 0$

   যেহেতু $\angle ACB = 2x$ একটি সূক্ষ্মকোণ, তাই $x$ সূক্ষ্মকোণ এবং $\tan x > 0$।
   $\therefore 3\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = \frac{1}{3}$
   $\implies x = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \cot^{-1}(3)$

   অতএব,
   $\cot^{-1} 3 - x = \cot^{-1} 3 - \cot^{-1} 3 = 0$

   উত্তর: $0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটি হলো:
   $4\cos x \cos 2x \cos 3x = 1$
   $\implies 2(2\cos 3x \cos x)\cos 2x = 1$
   $\implies 2[\cos(3x+x) + \cos(3x-x)]\cos 2x = 1$
   $\implies 2[\cos 4x + \cos 2x]\cos 2x = 1$
   $\implies 2\cos 4x \cos 2x + 2\cos^2 2x - 1 = 0$
   $\implies [\cos(4x+2x) + \cos(4x-2x)] + \cos 4x = 0 \quad [\because 2\cos^2 2x - 1 = \cos 4x]$
   $\implies \cos 6x + \cos 2x + \cos 4x = 0$
   $\implies 2\cos\left(\frac{6x+2x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) + \cos 4x = 0$
   $\implies 2\cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0$
   $\implies \cos 4x (2\cos 2x + 1) = 0$

   সুতরাং,
   হয় $\cos 4x = 0$
   অথবা $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}$

   ক্ষেত্র-১:
   $\cos 4x = 0$
   $\implies 4x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$
   $\implies x = (2n + 1)\frac{\pi}{8}$
   প্রদত্ত ব্যবধি $0 < x < \pi$ এর জন্য:

   • $n = 0 \implies x = \frac{\pi}{8}$
   • $n = 1 \implies x = \frac{3\pi}{8}$
   • $n = 2 \implies x = \frac{5\pi}{8}$
   • $n = 3 \implies x = \frac{7\pi}{8}$

   ক্ষেত্র-২:
   $\cos 2x = -\frac{1}{2} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$
   $\implies 2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$
   $\implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
   প্রদত্ত ব্যবধি $0 < x < \pi$ এর জন্য:

   • $n = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}$
   • $n = 1 \implies x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

   অতএব, নির্ণেয় সমাধানসমূহ:
   $x = \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{8}$