পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিচলক তথ্যের জোড়া মানসমূহকে ছক কাগজে বিন্দু আকারে স্থাপন করে চলকদ্বয়ের সম্পর্ক প্রদর্শনের জন্য যে চিত্র অঙ্কন করা হয়, তাকে বিক্ষেপ চিত্র (Scatter diagram) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, সংশ্লেষাঙ্ক একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা।
   সংশ্লেষাঙ্ক হলো দুটি চলকের সহভেদাঙ্ক এবং তাদের নিজ নিজ পরিমিত ব্যবধানের গুণফলের অনুপাত। যেহেতু লব এবং হর উভয়ই একই এককে প্রকাশিত থাকে, ফলে গাণিতিক প্রক্রিয়ায় এককসমূহ পরস্পর বাতিল হয়ে যায়। তাই সংশ্লেষাঙ্ক কোনো পরিমাপের এককের ওপর নির্ভর করে না; এটি একটি এককহীন বিশুদ্ধ সংখ্যা।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, আয় $X$ এবং ব্যয় $Y$।
   প্রদত্ত মানসমূহ ($n = 6$):
   $X$: 23, 26, 22, 24, 27, 30
   $Y$: 20, 21, 18, 20, 22, 25

   গণনা:
   $\sum X = 23 + 26 + 22 + 24 + 27 + 30 = 152$
   $\bar{X} = \frac{152}{6} \approx 25.33$

   $\sum Y = 20 + 21 + 18 + 20 + 22 + 25 = 126$
   $\bar{Y} = \frac{126}{6} = 21$

   $\sum XY = (23 \times 20) + (26 \times 21) + (22 \times 18) + (24 \times 20) + (27 \times 22) + (30 \times 25)$
   $= 460 + 546 + 396 + 480 + 594 + 750 = 3226$

   সহভেদাঙ্কের সূত্রানুসারে,
   $Cov(X, Y) = \frac{\sum XY}{n} - \bar{X}\bar{Y}$
   $= \frac{3226}{6} - (25.3333 \times 21)$
   $= 537.67 - 532 = 5.67$ (প্রায়)

   অতএব, নির্ণেয় সহভেদাঙ্ক ৫.৬৭।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   রনির মন্তব্যটি ছিল: "আয় ও ব্যয় সমমুখী ও অসমহারে পরিবর্তন হয়।"

   উদ্দীপকের তথ্য বিশ্লেষণ:
   ১. সমমুখী পরিবর্তন: চলকদ্বয় সমমুখী কি না তা বোঝার জন্য সংশ্লেষাঙ্ক ($r$) নির্ণয় করি।
   $\sum X = 152$, $\sum X^2 = 23^2 + 26^2 + 22^2 + 24^2 + 27^2 + 30^2 = 529 + 676 + 484 + 576 + 729 + 900 = 3894$
   $\sum Y = 126$, $\sum Y^2 = 20^2 + 21^2 + 18^2 + 20^2 + 22^2 + 25^2 = 400 + 441 + 324 + 400 + 484 + 625 = 2674$
   $\sum XY = 3226$, $n = 6$

   $r = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2][n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}$
   $= \frac{6(3226) - (152)(126)}{\sqrt{[6(3894) - (152)^2][6(2674) - (126)^2]}}$
   $= \frac{19356 - 19152}{\sqrt{[23364 - 23104][16044 - 15876]}} = \frac{204}{\sqrt{260 \times 168}} = \frac{204}{\sqrt{43680}} = \frac{204}{209.00} \approx 0.976$

   যেহেতু $r > 0$ (এবং $r \approx +0.98$), অর্থাৎ সংশ্লেষাঙ্কের মান ধনাত্মক, সেহেতু আয় বাড়লে ব্যয় বাড়ে এবং আয় কমলে ব্যয় কমে। সুতরাং আয় ও ব্যয় সমমুখী।

   ২. অসমহারে পরিবর্তন: যদি দুটি চলক সম্পূর্ণ সমহারে পরিবর্তিত হতো, তবে $r = +1$ (পূর্ণ ধনাত্মক সংশ্লেষ) হতো। কিন্তু এখানে $r = 0.976 \neq 1$, যা নির্দেশ করে পরিবর্তনটি সুষম বা সমহারের নয়, বরং অসমহারের। তাছাড়া তথ্য পর্যবেক্ষণ করলেও দেখা যায়, আয়ের পরিবর্তনের সাথে ব্যয়ের পরিবর্তন নির্দিষ্ট বা সমান অনুপাতে ঘটেনি।

   অতএব, রনির মন্তব্যটি যথার্থ এবং সঠিক।