উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 3x = 0$
   পোলার স্থানাঙ্কের রূপান্তর সূত্র: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, এবং $x^2 + y^2 = r^2$
   সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
   $r^2 - 3r\cos\theta = 0$
   $r(r - 3\cos\theta) = 0$
   যেহেতু সামগ্রিক বক্ররেখার জন্য $r \neq 0$,
   সুতরাং নির্ণেয় পোলার সমীকরণ: $r = 3\cos\theta$ অথবা $r^2 - 3r\cos\theta = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ১ম বৃত্ত: $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C_1 = (-\frac{-8}{2}, -\frac{-6}{2}) = (4, 3)$
   ব্যাসার্ধ $r_1 = \sqrt{4^2 + 3^2 - 16} = \sqrt{16 + 9 - 16} = \sqrt{9} = 3$

   ২য় বৃত্ত: $x^2 + y^2 = 4$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C_2 = (0, 0)$
   ব্যাসার্ধ $r_2 = \sqrt{4} = 2$

   কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $C_1C_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16+9} = 5$
   যেহেতু $C_1C_2 = 5 = 3 + 2 = r_1 + r_2$, বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।

   সুতরাং স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্রদ্বয় $C_2(0,0)$ ও $C_1(4,3)$ এর সংযোগকারী রেখাংশকে $r_2 : r_1 = 2 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
   ধরি, স্পর্শবিন্দুটি $P(x, y)$।
   $x = \frac{2 \times 4 + 3 \times 0}{2 + 3} = \frac{8}{5}$
   $y = \frac{2 \times 3 + 3 \times 0}{2 + 3} = \frac{6}{5}$

   অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
   বৃত্তটি মূলবিন্দু $(0, 0)$ দিয়ে যায়, সুতরাং $c = 0$।

   যেহেতু বৃত্তটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে $3$ একক অংশ ছেদ করে,
   $x$-অংশের খণ্ডিতাংশ $= 2\sqrt{g^2 - c} = 3$
   $\Rightarrow 2\sqrt{g^2} = 3$
   $\Rightarrow 2|g| = 3$
   যেহেতু ছেদক বিন্দুটি ধনাত্মক অংশে $(3, 0)$, তাই সমীকরণে $(3,0)$ বসালে পাই:
   $3^2 + 0 + 2g(3) = 0 \Rightarrow 9 + 6g = 0 \Rightarrow 2g = -3$

   একইভাবে, বৃত্তটি $y$-অক্ষের ধনাত্মক দিক হতে $5$ একক অংশ ছেদ করায় বিন্দুটি $(0, 5)$:
   $0 + 5^2 + 2f(5) = 0 \Rightarrow 25 + 10f = 0 \Rightarrow 2f = -5$

   অতএব, $2g = -3$, $2f = -5$ এবং $c = 0$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $x^2 + y^2 - 3x - 5y = 0$

   নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 3x - 5y = 0$।