উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি,
   $\sin 25^{\circ} + \cos 25^{\circ}$
   $= \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 25^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 25^{\circ}\right)$
   $= \sqrt{2}\left(\sin 25^{\circ}\cos 45^{\circ} + \cos 25^{\circ}\sin 45^{\circ}\right)$
   $= \sqrt{2}\sin(25^{\circ} + 45^{\circ})$
   $= \sqrt{2}\sin 70^{\circ}$ (বা $\sqrt{2}\cos 20^{\circ}$ বা প্রায় $1.3289$)

   উত্তর: $\sqrt{2}\sin 70^{\circ}$ বা $\sqrt{2}\cos 20^{\circ}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর $\triangle ABC$-তে,
   $\angle A = \theta$, $\angle B = 2\theta$, এবং $\angle C = 120^{\circ}$।

   আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$:
   $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
   $\implies \theta + 2\theta + 120^{\circ} = 180^{\circ}$
   $\implies 3\theta = 60^{\circ}$
   $\implies \theta = 20^{\circ}$

   অতএব,
   $\angle A = 20^{\circ}$
   $\angle B = 2\theta = 40^{\circ}$
   $\angle C = 120^{\circ}$
   এবং দেওয়া আছে বাহু $a = BC = 2$।

   ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
   $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

   এখন,
   $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$
   $\implies b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = \frac{2(2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}} = 4\cos 20^{\circ} \approx 3.759$

   আবার,
   $\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A}$
   $\implies c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin 120^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 20^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} = \sqrt{3}\operatorname{cosec} 20^{\circ} \approx 5.064$

   উত্তর: $b = 4\cos 20^{\circ}$ এবং $c = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুসারে, বিন্দু $A$-তে একই সরলরেখার ওপর অবস্থিত কোণগুলোর সমষ্টি $180^{\circ}$:
   $\theta + \alpha + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
   'খ' হতে পাই, $\theta = 20^{\circ}$।
   $\therefore 20^{\circ} + \alpha + 80^{\circ} = 180^{\circ}$
   $\implies \alpha = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$

   দৃশ্যকল্প-২ হতে,
   $p = \tan \theta \tan 2\theta \tan \alpha$
   $\implies p = \tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 80^{\circ}$
   $= \tan 20^{\circ} \tan(60^{\circ} - 20^{\circ}) \tan(60^{\circ} + 20^{\circ})$
   $= \tan 20^{\circ} \cdot \left(\frac{\tan 60^{\circ} - \tan 20^{\circ}}{1 + \tan 60^{\circ}\tan 20^{\circ}}\right) \cdot \left(\frac{\tan 60^{\circ} + \tan 20^{\circ}}{1 - \tan 60^{\circ}\tan 20^{\circ}}\right)$
   $= \tan 20^{\circ} \cdot \left(\frac{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}}{1 + \sqrt{3}\tan 20^{\circ}}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3} + \tan 20^{\circ}}{1 - \sqrt{3}\tan 20^{\circ}}\right)$
   $= \tan 20^{\circ} \cdot \frac{3 - \tan^2 20^{\circ}}{1 - 3\tan^2 20^{\circ}}$
   $= \frac{3\tan 20^{\circ} - \tan^3 20^{\circ}}{1 - 3\tan^2 20^{\circ}}$
   $= \tan(3 \times 20^{\circ})$
   $= \tan 60^{\circ}$
   $= \sqrt{3}$

   $\therefore p = \sqrt{3}$ (দেখানো হলো)।