উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=xf(x) = \sqrt{x}; দৃশ্যকল্প-২: h(x)=sin⁡xh(x) = \sin x

  1. ক)

    xx এর সাপেক্ষে cos⁡−11−x21+x2\cos^{-1} \frac{1 - x^2}{1 + x^2} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, f(x)+f(y)=f(c)f(x) + f(y) = f(c) বক্ররেখার (a, b) বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল c।

    (2)
  3. গ)

    y=1+2h(x)+3[1−{h(x)}2]y = 1 + 2h(x) + 3[1 - {h(x)}^2] ফাংশনটির [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] ব্যবধিতে চরম মান নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, y=cos⁡−1(1−x21+x2)y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)

    আমরা জানি, x=tan⁡θx = \tan\theta বসিয়ে পাই,
    y=cos⁡−1(1−tan⁡2θ1+tan⁡2θ)=cos⁡−1(cos⁡2θ)=2θ=2tan⁡−1xy = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x

    অতএব, xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
    dydx=ddx(2tan⁡−1x)=2⋅11+x2=21+x2\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2\tan^{-1}x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}

    উত্তর: 21+x2\frac{2}{1+x^2}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-১ হতে f(x)=xf(x) = \sqrt{x}।
    বক্ররেখার সমীকরণ: f(x)+f(y)=f(c)f(x) + f(y) = f(c)
      ⟹  x+y=c⋯(1)\implies \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{c} \quad \cdots (1)
    যেহেতু (a,b)(a, b) বিন্দুটি বক্ররেখার উপর অবস্থিত,
    a+b=c⋯(2)\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c} \quad \cdots (2)

    (1) নং সমীকরণকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    12x+12ydydx=0\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{dy}{dx} = 0
      ⟹  dydx=−yx\implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}

    অতএব, (a,b)(a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, m=(dydx)(a,b)=−bam = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a, b)} = -\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}

    (a,b)(a, b) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
    y−b=−ba(x−a)y - b = -\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}(x - a)
      ⟹  ay−ba=−bx+ab\implies \sqrt{a}y - b\sqrt{a} = -\sqrt{b}x + a\sqrt{b}
      ⟹  bx+ay=ab+ba=ab(a+b)\implies \sqrt{b}x + \sqrt{a}y = a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})

    (2) নং হতে a+b=c\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{c} বসিয়ে পাই,
    bx+ay=abc\sqrt{b}x + \sqrt{a}y = \sqrt{ab}\sqrt{c}

    উভয়পক্ষকে abc\sqrt{ab}\sqrt{c} দ্বারা ভাগ করে পাই,
    xac+ybc=1\frac{x}{\sqrt{a}\sqrt{c}} + \frac{y}{\sqrt{b}\sqrt{c}} = 1

    সুতরাং, স্পর্শক কর্তৃক xx-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশ =ac= \sqrt{a}\sqrt{c}
    এবং yy-অক্ষ থেকে কর্তিত অংশ =bc= \sqrt{b}\sqrt{c}

    অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল:
    =ac+bc=c(a+b)=c⋅c=c= \sqrt{a}\sqrt{c} + \sqrt{b}\sqrt{c} = \sqrt{c}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{c} \cdot \sqrt{c} = c
    (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-২ হতে, h(x)=sin⁡xh(x) = \sin x
    প্রদত্ত ফাংশন:
    y=1+2h(x)+3[1−{h(x)}2]y = 1 + 2h(x) + 3[1 - \{h(x)\}^2]
    =1+2sin⁡x+3(1−sin⁡2x)= 1 + 2\sin x + 3(1 - \sin^2 x)
    =1+2sin⁡x+3−3sin⁡2x= 1 + 2\sin x + 3 - 3\sin^2 x
    =4+2sin⁡x−3sin⁡2x= 4 + 2\sin x - 3\sin^2 x

    xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    dydx=2cos⁡x−6sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(1−3sin⁡x)\frac{dy}{dx} = 2\cos x - 6\sin x \cos x = 2\cos x (1 - 3\sin x)
    d2ydx2=−2sin⁡x−6(cos⁡2x−sin⁡2x)=−2sin⁡x−6cos⁡2x\frac{d^2y}{dx^2} = -2\sin x - 6(\cos^2 x - \sin^2 x) = -2\sin x - 6\cos 2x

    চরম মানের জন্য, dydx=0\frac{dy}{dx} = 0
      ⟹  2cos⁡x(1−3sin⁡x)=0\implies 2\cos x (1 - 3\sin x) = 0
    হয় cos⁡x=0\cos x = 0 অথবা sin⁡x=13\sin x = \frac{1}{3}

    প্রদত্ত ব্যবধি [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] এর মধ্যে:
    ১) cos⁡x=0  ⟹  x=π2\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}
    x=π2x = \frac{\pi}{2} হলে, d2ydx2=−2sin⁡π2−6cos⁡π=−2(1)−6(−1)=4>0\frac{d^2y}{dx^2} = -2\sin\frac{\pi}{2} - 6\cos\pi = -2(1) - 6(-1) = 4 > 0
    অতএব, x=π2x = \frac{\pi}{2} বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান নেই, স্থানীয় লঘুমান বিদ্যমান।

    ২) sin⁡x=13\sin x = \frac{1}{3} (যেহেতু 13∈(0,1)\frac{1}{3} \in (0, 1), তাই ব্যবধিতে এমন একটি xx আছে যার জন্য cos⁡2x=1−2sin⁡2x=1−2(19)=79\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2\left(\frac{1}{9}\right) = \frac{7}{9})
    এক্ষেত্রে, d2ydx2=−2(13)−6(79)=−23−143=−163<0\frac{d^2y}{dx^2} = -2\left(\frac{1}{3}\right) - 6\left(\frac{7}{9}\right) = -\frac{2}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{16}{3} < 0
    অতএব, sin⁡x=13\sin x = \frac{1}{3} হলে ফাংশনটির গুরুমান পাওয়া যাবে।

    গুরুমান =4+2(13)−3(13)2=4+23−13=4+13=133= 4 + 2\left(\frac{1}{3}\right) - 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 4 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}

    ব্যবধির প্রান্তবিন্দু এবং সন্ধিবিন্দুসমূহে মান:

    • x=0x = 0 হলে, y(0)=4+0−0=4y(0) = 4 + 0 - 0 = 4
    • x=π2x = \frac{\pi}{2} হলে, y(π2)=4+2(1)−3(1)2=3y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 + 2(1) - 3(1)^2 = 3
    • sin⁡x=13\sin x = \frac{1}{3} হলে, y=133y = \frac{13}{3}

    সুতরাং, নির্ণেয় চরম মানসমূহ হলো:
    সর্বোচ্চ বা গুরুমান =133= \frac{13}{3} এবং সর্বনিম্ন বা লঘুমান =3= 3

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন