উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

  1. ক)

    প্রমাণ কর: tan⁡35∘+tan⁡10∘+tan⁡35∘⋅tan⁡10∘=1 \tan 35^\circ + \tan 10^\circ + \tan 35^\circ \cdot \tan 10^\circ = 1

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর: cos⁡2A−cos⁡2B+cos⁡2C=1−2sin⁡Acos⁡Bsin⁡C \cos^2 A - \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \sin A \cos B \sin C

    (4)
  3. গ)

    ABC ABC ত্রিভুজটি সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি,
    35∘+10∘=45∘35^\circ + 10^\circ = 45^\circ
    উভয়পক্ষে tan⁡\tan নিয়ে পাই,
    tan⁡(35∘+10∘)=tan⁡45∘\tan(35^\circ + 10^\circ) = \tan 45^\circ
    বা, tan⁡35∘+tan⁡10∘1−tan⁡35∘⋅tan⁡10∘=1\frac{\tan 35^\circ + \tan 10^\circ}{1 - \tan 35^\circ \cdot \tan 10^\circ} = 1
    বা, tan⁡35∘+tan⁡10∘=1−tan⁡35∘⋅tan⁡10∘\tan 35^\circ + \tan 10^\circ = 1 - \tan 35^\circ \cdot \tan 10^\circ
    ∴tan⁡35∘+tan⁡10∘+tan⁡35∘⋅tan⁡10∘=1\therefore \tan 35^\circ + \tan 10^\circ + \tan 35^\circ \cdot \tan 10^\circ = 1 (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি, △ABC\triangle ABC-এ A+B+C=πA + B + C = \pi বা A+C=π−BA + C = \pi - B

    বামপক্ষ (LHS):
    =cos⁡2A−cos⁡2B+cos⁡2C= \cos^2 A - \cos^2 B + \cos^2 C
    =cos⁡2A+cos⁡2C−cos⁡2B= \cos^2 A + \cos^2 C - \cos^2 B
    =cos⁡2A+(1−sin⁡2C)−cos⁡2B= \cos^2 A + (1 - \sin^2 C) - \cos^2 B
    =1+(cos⁡2A−sin⁡2C)−cos⁡2B= 1 + (\cos^2 A - \sin^2 C) - \cos^2 B
    =1+cos⁡(A+C)cos⁡(A−C)−cos⁡2B= 1 + \cos(A + C)\cos(A - C) - \cos^2 B
    =1+cos⁡(π−B)cos⁡(A−C)−cos⁡2B= 1 + \cos(\pi - B)\cos(A - C) - \cos^2 B
    =1−cos⁡Bcos⁡(A−C)−cos⁡2B= 1 - \cos B \cos(A - C) - \cos^2 B
    =1−cos⁡B[cos⁡(A−C)+cos⁡B]= 1 - \cos B [\cos(A - C) + \cos B]
    =1−cos⁡B[cos⁡(A−C)+cos⁡(π−(A+C))]= 1 - \cos B [\cos(A - C) + \cos(\pi - (A + C))]
    =1−cos⁡B[cos⁡(A−C)−cos⁡(A+C)]= 1 - \cos B [\cos(A - C) - \cos(A + C)]
    =1−cos⁡B[2sin⁡Asin⁡C]= 1 - \cos B [2 \sin A \sin C]
    =1−2sin⁡Acos⁡Bsin⁡C= 1 - 2 \sin A \cos B \sin C
    = ডানপক্ষ (RHS)
    ∴cos⁡2A−cos⁡2B+cos⁡2C=1−2sin⁡Acos⁡Bsin⁡C\therefore \cos^2 A - \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \sin A \cos B \sin C (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রানুসারে,
    c=AB=3c = AB = 3
    a=BC=4a = BC = 4
    ∠B=π15=180∘15=12∘\angle B = \frac{\pi}{15} = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ

    (i) কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করে বাহু b=ACb = AC নির্ণয়:
    b2=c2+a2−2cacos⁡Bb^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B
    b2=32+42−2×3×4×cos⁡12∘b^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos 12^\circ
    b2=9+16−24×0.9781b^2 = 9 + 16 - 24 \times 0.9781
    b2=25−23.4755=1.5245b^2 = 25 - 23.4755 = 1.5245
    ∴b=1.5245≈1.235\therefore b = \sqrt{1.5245} \approx 1.235

    (ii) সাইন সূত্র ব্যবহার করে ∠A\angle A নির্ণয়:
    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
    sin⁡A=asin⁡Bb=4×sin⁡12∘1.235≈4×0.20791.235≈0.83161.235≈0.6734\sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{4 \times \sin 12^\circ}{1.235} \approx \frac{4 \times 0.2079}{1.235} \approx \frac{0.8316}{1.235} \approx 0.6734
    যেহেতু a>c>ba > c > b, তাই ∠A\angle A হবে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ এবং এটি স্থূলকোণ হতে পারে।
    sin⁡−1(0.6734)≈42.33∘\sin^{-1}(0.6734) \approx 42.33^\circ
    বা, ∠A=180∘−42.33∘=137.67∘\angle A = 180^\circ - 42.33^\circ = 137.67^\circ
    যদি ∠A=42.33∘\angle A = 42.33^\circ হয়, তবে ∠C=180∘−(12∘+42.33∘)=125.67∘\angle C = 180^\circ - (12^\circ + 42.33^\circ) = 125.67^\circ, কিন্তু a>ca > c হওয়ায় ∠A>∠C\angle A > \angle C হওয়া আবশ্যক। অতএব, ∠A\angle A অবশ্যই স্থূলকোণ:
    ∠A≈137.67∘\angle A \approx 137.67^\circ (বা 137∘40′137^\circ 40')

    (iii) ∠C\angle C নির্ণয়:
    ∠C=180∘−(∠A+∠B)=180∘−(137.67∘+12∘)=30.33∘\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (137.67^\circ + 12^\circ) = 30.33^\circ (বা 30∘20′30^\circ 20')

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান:
    b≈1.235b \approx 1.235
    ∠A≈137.67∘\angle A \approx 137.67^\circ
    ∠C≈30.33∘\angle C \approx 30.33^\circ

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন