উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $A$ ও $B$ বিন্দুতে যথাক্রমে $P = 12\text{ N}$ এবং $Q = 8\text{ N}$ মানের দুটি বিসদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল।
   দেওয়া আছে, $AB = 20\text{ m}$।
   যেহেতু বলদ্বয় বিসদৃশ এবং $12\text{ N} > 8\text{ N}$, তাই এদের লব্ধি $R = 12 - 8 = 4\text{ N}$ বৃহত্তর বলের দিকে এবং $AB$-এর বর্ধিতাংশের উপর কোনো বিন্দু $C$-তে ক্রিয়া করবে, যেখানে $A$ বিন্দু $C$ ও $B$-এর মাঝে অবস্থান করবে।
   সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
   $12 \times AC = 8 \times BC$
   বা, $12 \times AC = 8 \times (AB + AC)$
   বা, $12 \times AC = 8 \times (20 + AC)$
   বা, $12 AC = 160 + 8 AC$
   বা, $4 AC = 160$
   $\therefore AC = 40\text{ m}$
   অতএব, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু বৃহত্তর বল ($12\text{ N}$) থেকে $40\text{ m}$ দূরত্বে (ক্ষুদ্রতর বলের বিপরীত দিকে $AB$-এর বর্ধিতাংশের উপর) অবস্থিত। (অথবা ক্ষুদ্রতর বল থেকে $BC = 20 + 40 = 60\text{ m}$ দূরত্বে)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে, $\triangle ABC$-এর পরিকেন্দ্র $O$। শীর্ষ $B$ ও $O$ যোগ করে বর্ধিত করলে তা $CA$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $D$ বিন্দুতে $P$ মানের একটি বল ক্রিয়াশীল।
   ধরি, $C$ ও $A$ বিন্দুতে $P$ বলের সমান্তরাল অংশকদ্বয় যথাক্রমে $P_1$ ও $P_2$।
   সমান্তরাল বলের বিভাজন নীতি অনুসারে,
   $P_1 \times CD = P_2 \times AD$
   বা, $\frac{P_1}{P_2} = \frac{AD}{CD}$

   এখন, $\triangle ABD$ এবং $\triangle CBD$ বিবেচনা করি।
   $\triangle ABD$-তে সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin A}$
   বা, $AD = BD \cdot \frac{\sin \angle ABD}{\sin A}$

   আবার, $\triangle CBD$-তে সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{CD}{\sin \angle CBD} = \frac{BD}{\sin C}$
   বা, $CD = BD \cdot \frac{\sin \angle CBD}{\sin C}$

   অতএব,
   $\frac{AD}{CD} = \frac{\sin \angle ABD}{\sin A} \times \frac{\sin C}{\sin \angle CBD} = \frac{\sin C}{\sin A} \cdot \frac{\sin \angle ABD}{\sin \angle CBD}$

   যেহেতু $O$ পরিকেন্দ্র, পরিবৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
   জ্যামিতিক সম্পর্ক থেকে জানা যায়, $BD$ রেখা পরিকেন্দ্রগামী হওয়ায়:
   $\angle ABD = 90^\circ - C$ এবং $\angle CBD = 90^\circ - A$
   অতএব,
   $\sin \angle ABD = \sin(90^\circ - C) = \cos C$
   এবং $\sin \angle CBD = \sin(90^\circ - A) = \cos A$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\frac{P_1}{P_2} = \frac{AD}{CD} = \frac{\sin C}{\sin A} \cdot \frac{\cos C}{\cos A} = \frac{\sin C \cos C}{\sin A \cos A} = \frac{2\sin C \cos C}{2\sin A \cos A} = \frac{\sin 2C}{\sin 2A}$
   $\therefore P_1 : P_2 = \sin 2C : \sin 2A$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   তক্তাটির দৈর্ঘ্য $AB = 20\text{ m}$
   তক্তাটি সমরূপ হওয়ায় এর ওজন $W_1 = 50\text{ kg-wt}$ এর মধ্যবিন্দু $G$-তে খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে।
   সুতরাং, $AG = \frac{20}{2} = 10\text{ m}$
   খুঁটি দুটি $A$ ও $C$ বিন্দুতে অবস্থিত।
   $BC = 4\text{ m}$, সুতরাং $AC = AB - BC = 20 - 4 = 16\text{ m}$
   $D$ বিন্দুতে ঝুলানো ওজন $W_2 = 60\text{ kg-wt}$, যেখানে $AD = 3\text{ m}$।

   ধরি, $A$ ও $C$ বিন্দুর খুঁটির উপর প্রতিক্রিয়া (চাপ) যথাক্রমে $R_A$ ও $R_C$।
   তক্তাটি অনুভূমিকভাবে ভারসাম্যে থাকায় ঊর্ধ্বমুখী বল ও নিম্নমুখী বলের সমষ্টি সমান:
   $R_A + R_C = 50 + 60 = 110\text{ kg-wt}$ ... (i)

   $A$ বিন্দুর সাপেক্ষে বলগুলোর মোমেন্ট নিয়ে পাই,
   $R_C \times AC - (W_2 \times AD) - (W_1 \times AG) = 0$
   বা, $R_C \times 16 - (60 \times 3) - (50 \times 10) = 0$
   বা, $16 R_C = 180 + 500 = 680$
   বা, $R_C = \frac{680}{16} = 42.5\text{ kg-wt}$

   (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
   $R_A = 110 - 42.5 = 67.5\text{ kg-wt}$

   অতএব, $A$ বিন্দুর খুঁটির উপর চাপ $67.5\text{ kg-wt}$ (বা $67.5g\text{ N} \approx 661.5\text{ N}$) এবং $C$ বিন্দুর খুঁটির উপর চাপ $42.5\text{ kg-wt}$ (বা $42.5g\text{ N} \approx 416.5\text{ N}$)।