উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২২
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
z=sinx z=\sin x
- ক)(1)
ddz(zx) \frac{d}{d z}\left(z^{x}\right) নির্ণয় কর।
- খ)(2)
মূল নিয়মে x x এর সাপেক্ষে 1z \frac{1}{z} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
- গ)(3)
যদি y=x2 y=x^{2} হয়, তবে (1−z2)d2ydz2−zdydz−2 \left(1-z^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d z^{2}}-z \frac{d y}{d z}-2 এর মান নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
এখানে z = sin x বা x = sin⁻¹(z)।
অতএব, u = z^x = z^{sin⁻¹(z)}
ln u = sin⁻¹(z) ln z
z এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
(1/u) * d/dz (u) = d/dz [sin⁻¹(z) ln z]
= (1/√(1 - z²)) * ln z + sin⁻¹(z) * (1/z)
সুতরাং, d/dz (z^x) = z^x [ (ln z)/√(1 - z²) + (sin⁻¹(z))/z ]।
(বিকল্পভাবে, যদি x কে z-এর নিরপেক্ষ ধ্রুবক বিবেচনা করা হয়, তবে d/dz (z^x) = x z^{x-1})। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, f(x) = 1/z = 1/sin x = cosec x
মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
d/dx [f(x)] = lim_{h->0} [f(x+h) - f(x)] / h
= lim_{h->0} [1/sin(x+h) - 1/sin x] / h
= lim_{h->0} [sin x - sin(x+h)] / [h sin(x+h) sin x]
= lim_{h->0} [2 cos(x + h/2) sin(-h/2)] / [h sin(x+h) sin x]
= - lim_{h->0} [sin(h/2) / (h/2)] * lim_{h->0} [cos(x + h/2) / (sin(x+h) sin x)]
= - 1 * [cos x / (sin x * sin x)]
= - cosec x cot x। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, z = sin x => x = sin⁻¹(z)
আবার, y = x² = (sin⁻¹ z)²
z এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
dy/dz = 2 (sin⁻¹ z) * (1/√(1 - z²))
বা, √(1 - z²) (dy/dz) = 2 sin⁻¹ z
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
(1 - z²) (dy/dz)² = 4 (sin⁻¹ z)² = 4y
z এর সাপেক্ষে পুনরায় অন্তরীকরণ করে পাই,
-2z (dy/dz)² + (1 - z²) * 2 (dy/dz) * (d²y/dz²) = 4 (dy/dz)
উভয়পক্ষকে 2 (dy/dz) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(1 - z²) (d²y/dz²) - z (dy/dz) = 2
অতএব, (1 - z²) (d²y/dz²) - z (dy/dz) - 2 = 0।
সুতরাং, নির্ণেয় মান 0।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও