গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

আমরা জানি, প্রাসের গতিপথের সমীকরণ:
$y = x\tan\theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2\theta}$
$y = x\tan\theta - \frac{g x^2}{2 u^2}(1 + \tan^2\theta)$

এখানে,
অনুভূমিক দূরত্ব, $x = 40\text{ m}$
উচ্চতা, $y = 12\text{ m}$
নিক্ষেপণ বেগ, $u = 35\text{ ms}^{-1}$
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$

মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$12 = 40\tan\theta - \frac{9.8 \times (40)^2}{2 \times (35)^2} (1 + \tan^2\theta)$
$12 = 40\tan\theta - \frac{15680}{2450}(1 + \tan^2\theta)$
$12 = 40\tan\theta - 6.4(1 + \tan^2\theta)$
$6.4\tan^2\theta - 40\tan\theta + 18.4 = 0$

উভয়পক্ষকে $0.8$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$8\tan^2\theta - 50\tan\theta + 23 = 0$

দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
$\tan\theta = \frac{-(-50) \pm \sqrt{(-50)^2 - 4 \times 8 \times 23}}{2 \times 8}$
$\tan\theta = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 736}}{16} = \frac{50 \pm \sqrt{1764}}{16} = \frac{50 \pm 42}{16}$

অতএব,
$\tan\theta = \frac{50 + 42}{16} = \frac{92}{16} = 5.75 \implies \theta = \tan^{-1}(5.75) \approx 80.13^\circ$
অথবা,
$\tan\theta = \frac{50 - 42}{16} = \frac{8}{16} = 0.5 \implies \theta = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.57^\circ$

উত্তর: $26.57^\circ$ বা $80.13^\circ$ কোণে নিক্ষেপ করতে হবে।