উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[pqrp2q2r2p3q3r3],B=[22−142−3142],C=[516] A = \begin{bmatrix} p & q & r \ p^2 & q^2 & r^2 \ p^3 & q^3 & r^3 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \ 4 & 2 & -3 \ 1 & 4 & 2 \end{bmatrix}, C = \begin{bmatrix} 5 \ 1 \ 6 \end{bmatrix} এবং X=[xyz] X = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix}

  1. ক)

    (−a62−a+1) \begin{pmatrix} -a & 6 \ 2 & -a + 1 \end{pmatrix} ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমি হলে a এর মান বের কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, ∣A∣=pqr(p−q)(q−r)(r−p) |A| = pqr (p - q) (q - r) (r - p) .

    (2)
  3. গ)

    ক্রেমারের সূত্র ব্যবহার করে BX=C BX = C সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি এর নির্ণায়কের মান শূন্য হয়।
    ∴∣−a62−a+1∣=0\therefore \begin{vmatrix} -a & 6 \\ 2 & -a + 1 \end{vmatrix} = 0
    ⇒−a(−a+1)−(6×2)=0\Rightarrow -a(-a + 1) - (6 \times 2) = 0
    ⇒a2−a−12=0\Rightarrow a^2 - a - 12 = 0
    ⇒a2−4a+3a−12=0\Rightarrow a^2 - 4a + 3a - 12 = 0
    ⇒a(a−4)+3(a−4)=0\Rightarrow a(a - 4) + 3(a - 4) = 0
    ⇒(a−4)(a+3)=0\Rightarrow (a - 4)(a + 3) = 0
    ∴a=4\therefore a = 4 অথবা a=−3a = -3

    অতএব, aa এর নির্ণেয় মান 44 অথবা −3-3।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    ∣A∣=∣pqrp2q2r2p3q3r3∣|A| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix}

    ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম থেকে যথাক্রমে p,q,rp, q, r সাধারণ নিয়ে পাই,
    ∣A∣=pqr∣111pqrp2q2r2∣|A| = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}

    কলাম রূপান্তর C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 প্রয়োগ করে পাই,
    ∣A∣=pqr∣001p−qq−rrp2−q2q2−r2r2∣|A| = pqr \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p - q & q - r & r \\ p^2 - q^2 & q^2 - r^2 & r^2 \end{vmatrix}

    ১ম কলাম থেকে (p−q)(p - q) এবং ২য় কলাম থেকে (q−r)(q - r) সাধারণ নিয়ে পাই,
    ∣A∣=pqr(p−q)(q−r)∣00111rp+qq+rr2∣|A| = pqr (p - q)(q - r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & r \\ p + q & q + r & r^2 \end{vmatrix}

    ১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই,
    ∣A∣=pqr(p−q)(q−r)[1⋅((q+r)−(p+q))]|A| = pqr (p - q)(q - r) [1 \cdot ((q + r) - (p + q))]
    =pqr(p−q)(q−r)(q+r−p−q)= pqr (p - q)(q - r)(q + r - p - q)
    =pqr(p−q)(q−r)(r−p)= pqr (p - q)(q - r)(r - p)

    ∴∣A∣=pqr(p−q)(q−r)(r−p)\therefore |A| = pqr(p - q)(q - r)(r - p) (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    BX=CBX = C
    ⇒[22−142−3142][xyz]=[516]\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}
    সমীকরণ জোটটি হলো:
    2x+2y−z=52x + 2y - z = 5
    4x+2y−3z=14x + 2y - 3z = 1
    x+4y+2z=6x + 4y + 2z = 6

    ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
    D=∣22−142−3142∣D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}
    =2(4−(−12))−2(8−(−3))−1(16−2)= 2(4 - (-12)) - 2(8 - (-3)) - 1(16 - 2)
    =2(16)−2(11)−1(14)=32−22−14=−4≠0= 2(16) - 2(11) - 1(14) = 32 - 22 - 14 = -4 \neq 0

    Dx=∣52−112−3642∣D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 6 & 4 & 2 \end{vmatrix}
    =5(4+12)−2(2+18)−1(4−12)= 5(4 + 12) - 2(2 + 18) - 1(4 - 12)
    =5(16)−2(20)−1(−8)=80−40+8=48= 5(16) - 2(20) - 1(-8) = 80 - 40 + 8 = 48

    Dy=∣25−141−3162∣D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & -3 \\ 1 & 6 & 2 \end{vmatrix}
    =2(2+18)−5(8+3)−1(24−1)= 2(2 + 18) - 5(8 + 3) - 1(24 - 1)
    =2(20)−5(11)−1(23)=40−55−23=−38= 2(20) - 5(11) - 1(23) = 40 - 55 - 23 = -38

    Dz=∣225421146∣D_z = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 5 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix}
    =2(12−4)−2(24−1)+5(16−2)= 2(12 - 4) - 2(24 - 1) + 5(16 - 2)
    =2(8)−2(23)+5(14)=16−46+70=40= 2(8) - 2(23) + 5(14) = 16 - 46 + 70 = 40

    অতএব,
    x=DxD=48−4=−12x = \frac{D_x}{D} = \frac{48}{-4} = -12
    y=DyD=−38−4=192y = \frac{D_y}{D} = \frac{-38}{-4} = \frac{19}{2}
    z=DzD=40−4=−10z = \frac{D_z}{D} = \frac{40}{-4} = -10

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(−12,192,−10)(x, y, z) = \left(-12, \frac{19}{2}, -10\right)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন