উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রেখাটি X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
   সুতরাং, রেখাটির ঢাল, m = tan 60° = √3

   যেহেতু রেখাটি (-6, 2) বিন্দুগামী, তাই রেখাটির সমীকরণ হবে:
   y - y₁ = m(x - x₁)
   বা, y - 2 = √3{x - (-6)}
   বা, y - 2 = √3(x + 6)
   বা, y - 2 = √3x + 6√3
   বা, √3x - y + 6√3 + 2 = 0

   নির্ণেয় সমীকরণ: √3x - y + 6√3 + 2 = 0

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   AB রেখার সমীকরণ: x + 2y - 4 = 0 ... (i)

   CD রেখাটি C(0, -4) এবং D(8, 0) বিন্দুগামী।
   সুতরাং, CD রেখার সমীকরণ:
   (y - (-4)) / (-4 - 0) = (x - 0) / (0 - 8)
   বা, (y + 4) / (-4) = x / (-8)
   বা, 2(y + 4) = x
   বা, x - 2y - 8 = 0 ... (ii)

   E বিন্দুটি (i) ও (ii) নং রেখার ছেদবিন্দু।
   (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
   2x - 12 = 0
   => x = 6

   x = 6 সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,
   6 + 2y - 4 = 0
   => 2y = -2
   => y = -1
   অতএব, E বিন্দুর স্থানাঙ্ক (6, -1)।

   এখন, AB রেখা অর্থাৎ x + 2y - 4 = 0 এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ:
   2x - y + k = 0 ... (iii)

   যেহেতু (iii) নং রেখাটি E(6, -1) বিন্দুগামী,
   2(6) - (-1) + k = 0
   বা, 12 + 1 + k = 0
   বা, k = -13

   k এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   2x - y - 13 = 0

   নির্ণেয় সমীকরণ: 2x - y - 13 = 0

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   AB রেখার সমীকরণ: x + 2y - 4 = 0 ... (i)
   Y-অক্ষের সমীকরণ: x = 0 ... (ii)

   (i) ও (ii) নং সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের সমীকরণ:
   (x + 2y - 4) / √(1² + 2²) = ± (x) / √(1² + 0²)
   বা, (x + 2y - 4) / √5 = ± x
   বা, x + 2y - 4 = ± √5 x

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   x + 2y - 4 = √5 x
   বা, (1 - √5)x + 2y - 4 = 0
   এই সমদ্বিখণ্ডকটির ঢাল, m₁ = - (1 - √5) / 2 = (√5 - 1) / 2

   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই,
   x + 2y - 4 = -√5 x
   বা, (1 + √5)x + 2y - 4 = 0
   এই সমদ্বিখণ্ডকটির ঢাল, m₂ = - (1 + √5) / 2 = - (√5 + 1) / 2

   এখন, সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল:
   m₁ × m₂ = [ (√5 - 1) / 2 ] × [ - (√5 + 1) / 2 ]
   = - [ (√5)² - 1² ] / 4
   = - (5 - 1) / 4
   = - 4 / 4
   = -1

   যেহেতু ঢালদ্বয়ের গুণফল -1, তাই সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (প্রমাণিত)