উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $y = x^3 \sin(\ln x)$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [x^3 \sin(\ln x)]$
   $= \frac{d}{dx}(x^3) \cdot \sin(\ln x) + x^3 \cdot \frac{d}{dx}[\sin(\ln x)]$
   $= 3x^2 \sin(\ln x) + x^3 \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
   $= 3x^2 \sin(\ln x) + x^3 \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$
   $= 3x^2 \sin(\ln x) + x^2 \cos(\ln x)$
   $= x^2 [3\sin(\ln x) + \cos(\ln x)]$

   নির্ণেয় অন্তরজ: $x^2 [3\sin(\ln x) + \cos(\ln x)]$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই,
   বৃত্তের কেন্দ্রে মোট কোণ, $\alpha + \beta + \gamma = 360^\circ = 2\pi$
   বা, $\alpha + \beta = 2\pi - \gamma$
   বা, $\cos(\alpha + \beta) = \cos(2\pi - \gamma) = \cos \gamma$

   এখন প্রদত্ত রাশি,
   $E = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= \frac{1}{2}[2\cos^2 \alpha + 2\cos^2 \beta] + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= \frac{1}{2}[(1 + \cos 2\alpha) + (1 + \cos 2\beta)] + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= \frac{1}{2}[2 + (\cos 2\alpha + \cos 2\beta)] + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= 1 + \frac{1}{2}[2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)] + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= 1 + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

   যেহেতু $\cos(\alpha + \beta) = \cos \gamma$:
   $= 1 + \cos \gamma \cos(\alpha - \beta) + \cos^2 \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha - \beta) + \cos \gamma] - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= 1 + \cos \gamma [\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= 1 + \cos \gamma [2\cos \alpha \cos \beta] - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= 1 + 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
   $= 1$

   অতএব, নির্ণেয় মান = $1$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র অনুসারে, উৎপন্ন ত্রিভুজের বাহু তিনটি:
   $a = 21\text{ m}$
   $b = 6 + 3 = 9\text{ m}$
   $c = 6 + 9 = 15\text{ m}$

   ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা,
   $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{21 + 9 + 15}{2} = \frac{45}{2} = 22.5\text{ m}$

   ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল,
   $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
   $= \sqrt{22.5(22.5 - 21)(22.5 - 9)(22.5 - 15)}$
   $= \sqrt{22.5 \times 1.5 \times 13.5 \times 7.5}$
   $= \sqrt{3417.1875} \approx 58.4566\text{ m}^2$

   কোণ $\alpha$ নির্ণয়:
   $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{9^2 + 15^2 - 21^2}{2 \times 9 \times 15} = \frac{81 + 225 - 441}{270} = \frac{-135}{270} = -\frac{1}{2}$
   $\therefore \alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}$

   বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = 6\text{ m}$
   $\alpha$ কোণবিশিষ্ট বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল,
   $A_{\text{sector}} = \frac{1}{2} r^2 \alpha = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2\pi}{3} = 12\pi \approx 37.6991\text{ m}^2$

   অতএব, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $-$ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল
   $= 58.4566 - 37.6991 = 20.7575\text{ m}^2$

   উত্তর: প্রায় $20.76\text{ m}^2$