পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সরল ছন্দিত স্পন্দনরত কোনো কণার গতি বর্ণনার ক্ষেত্রে সময় গণনার শুরুতে (t = 0 সময়ে) কণাটির দশাকে আদিদশা বা দশা ধ্রুবক বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সরল দোলকের গতি তখনই সরল ছন্দিত স্পন্দন হয় যখন প্রত্যয়নী বল বা ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী হয়। সরল দোলকের ক্ষেত্রে কার্যকরী বল F = -mg \sin\theta। যদি কৌণিক বিস্তার \theta খুব ক্ষুদ্র (\theta \le 4^\circ) হয়, তবে রেডিয়ান এককে \sin\theta \approx \theta বিবেচনা করা যায়। ফলে F \approx -mg\theta = -mg\frac{x}{L} হয়, অর্থাৎ F \propto -x সম্পর্কটি বজায় থাকে এবং দোলনকাল বিস্তারের ওপর নির্ভর করে না। কিন্তু কৌণিক বিস্তার 4^\circ এর বেশি হলে \sin\theta \approx \theta ধরা যায় না এবং গতিটি সরল ছন্দিত গতি থাকে না। তাই সরল দোলকের গতিকে সরল ছন্দিত স্পন্দনে সীমিত রাখতে কৌণিক বিস্তার 4^\circ এর মধ্যে রাখা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   বস্তুর ভর, m = 0.2 kg
   বল ধ্রুবক, k = 1.8 N m⁻¹

   আমরা জানি, কৌণিক কম্পাঙ্ক,
   \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1.8}{0.2}} = \sqrt{9} = 3\text{ rad s}^{-1}

   [বিকল্পভাবে, উদ্দীপকের সরণ ভেক্টর \vec{r} = (\hat{i}\cos 3t + \hat{j}\sin 3t) m থেকেও দেখা যায় কৌণিক বেগ বা কম্পাঙ্ক \omega = 3\text{ rad s}^{-1}]

   অতএব, স্পন্দনশীল বস্তুটির কম্পাঙ্ক,
   f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3}{2\pi} \approx 0.477\text{ Hz}

   উত্তর: স্পন্দনশীল বস্তুটির কম্পাঙ্ক 0.477 Hz (বা \frac{3}{2\pi} Hz)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   বস্তুকণার সরণ ভেক্টর,
   \vec{r} = (\hat{i}\cos 3t + \hat{j}\sin 3t)\text{ m}

   যেকোনো সময় t-তে দূরত্বের মান (সরণ):
   r = |\vec{r}| = \sqrt{(\cos 3t)^2 + (\sin 3t)^2} = \sqrt{1} = 1\text{ m}

   অতএব, বস্তুটির বিস্তার, A = 1 m এবং যেকোনো সময়ে কণাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব ধ্রুব থাকে, অর্থাৎ r = 1 m।

   বস্তুর বেগ ভেক্টর,
   \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\hat{i}\cos 3t + \hat{j}\sin 3t) = -3\sin 3t,\hat{i} + 3\cos 3t,\hat{j}

   বেগের মান,
   v = |\vec{v}| = \sqrt{(-3\sin 3t)^2 + (3\cos 3t)^2} = \sqrt{9(\sin^2 3t + \cos^2 3t)} = \sqrt{9} = 3\text{ m s}^{-1}

   যেকোনো সময় t-তে বস্তুটির গতিশক্তি,
   E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.2\text{ kg} \times (3\text{ m s}^{-1})^2 = 0.1 \times 9 = 0.9\text{ J}

   এবং বিভবশক্তি,
   E_p = \frac{1}{2} k r^2 = \frac{1}{2} \times 1.8\text{ N m}^{-1} \times (1\text{ m})^2 = 0.9\text{ J}

   এখানে দেখা যাচ্ছে যে, যেকোনো মুহূর্তে E_k = 0.9 J এবং E_p = 0.9 J।

   অতএব, উদ্দীপকে উল্লিখিত বস্তুর গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সর্বদা সমান হবে।