গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

বামপক্ষ,
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

$C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$ প্রয়োগ করে পাই,
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^3-b^3 & b^3-c^3 & c^3 \end{vmatrix}$
$= \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ (a-b)(a^2+ab+b^2) & (b-c)(b^2+bc+c^2) & c^3 \end{vmatrix}$

প্রথম কলাম থেকে $(a-b)$ এবং দ্বিতীয় কলাম থেকে $(b-c)$ সাধারণ উৎপাদক হিসেবে কমন নিয়ে পাই,
$\Delta = (a-b)(b-c) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a^2+ab+b^2 & b^2+bc+c^2 & c^3 \end{vmatrix}$

প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই,
$\Delta = (a-b)(b-c) \left[ 1 \cdot \{(b^2+bc+c^2) - (a^2+ab+b^2)\} \right]$
$= (a-b)(b-c) (b^2+bc+c^2 - a^2-ab-b^2)$
$= (a-b)(b-c) (c^2 - a^2 + bc - ab)$
$= (a-b)(b-c) \{(c-a)(c+a) + b(c-a)\}$
$= (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$= \text{ডানপক্ষ}$
(প্রমাণিত)