উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = 6\text{ cm}$
   কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, $\theta = 42^\circ = 42 \times \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান} = \frac{7\pi}{30} \text{ রেডিয়ান}$

   বৃত্তকলা ABC (বা বৃত্তকলা ABDC) এর ক্ষেত্রফল
   $= \frac{1}{2} r^2 \theta$
   $= \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{7\pi}{30}$
   $= \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{7 \times 3.1416}{30}$
   $\approx 13.195\text{ cm}^2$

   উত্তর: $13.195\text{ cm}^2$ (প্রায়)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   ব্যাসার্ধ, $r = AB = AC = 6\text{ cm}$
   কেন্দ্রে কোণ, $\theta = 42^\circ = \frac{42 \times \pi}{180} \text{ রেডিয়ান} = \frac{7\pi}{30} \text{ রেডিয়ান}$

   বৃত্তচাপ BDC এর দৈর্ঘ্য, $s = r\theta = 6 \times \frac{7\pi}{30} = \frac{7\pi}{5} \approx 4.398\text{ cm}$

   অতএব, বৃত্তকলা ABDC এর পরিসীমা
   $= AB + AC + \text{চাপ } BDC$
   $= 6 + 6 + 4.398$
   $= 16.398\text{ cm}$ (প্রায়)

   [বিকল্পভাবে, যদি আবদ্ধ ক্ষেত্র ABDC বলতে বৃত্তাংশ BDC বুঝায়, তবে জ্যা $BC = 2r\sin(\theta/2) = 2 \times 6 \times \sin(21^\circ) \approx 4.301\text{ cm}$, সেক্ষেত্রে পরিসীমা $= 4.301 + 4.398 = 8.699\text{ cm}$]

   উত্তর: $16.398\text{ cm}$ (প্রায়)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র অনুসারে, সম্পূর্ণ বৃত্তের মধ্যে শুধুমাত্র ত্রিভুজ ABC অংশটি ছায়াঘেরা নয়, বাকি সমগ্র অংশ ছায়াঘেরা।

   বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 6^2 = 36\pi \approx 113.097\text{ cm}^2$

   $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল
   $= \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(42^\circ)$
   $= \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin(42^\circ)$
   $= 18 \times \sin(42^\circ)$
   $\approx 18 \times 0.66913$
   $\approx 12.044\text{ cm}^2$

   অতএব, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল
   $= \text{বৃত্তের ক্ষেত্রফল} - \triangle ABC \text{ এর ক্ষেত্রফল}$
   $= 113.097 - 12.044$
   $= 101.053\text{ cm}^2$ (প্রায়)

   উত্তর: $101.053\text{ cm}^2$ (প্রায়)