উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $\lim_{x \to \infty} 7^x \sin\left(\frac{a}{7^x}\right)$

   ধরি, $\frac{a}{7^x} = \theta$
   যখন $x \to \infty$, তখন $7^x \to \infty$, সুতরাং $\theta \to 0$

   তাহলে, $7^x = \frac{a}{\theta}$

   প্রদত্ত সীমা:
   $\lim_{x \to \infty} 7^x \sin\left(\frac{a}{7^x}\right) = \lim_{\theta \to 0} \frac{a}{\theta} \sin\theta = a \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = a \times 1 = a$

   উত্তর: $a$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $f(x) = \sin x$
   অতএব,
   $\frac{f\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)}{f(2x)} = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)}{\sin(2x)} = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = \cot(2x)$

   ধরি, $g(x) = \cot(2x)$
   অতএব, $g(x + h) = \cot(2(x + h)) = \cot(2x + 2h)$

   মূল নিয়মে অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে,
   $\frac{d}{dx}[g(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\cot(2x+2h) - \cot(2x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{\cos(2x+2h)}{\sin(2x+2h)} - \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \right]$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{\cos(2x+2h)\sin(2x) - \sin(2x+2h)\cos(2x)}{\sin(2x+2h)\sin(2x)} \right]$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(2x - (2x+2h))}{h \sin(2x+2h)\sin(2x)}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(-2h)}{h \sin(2x+2h)\sin(2x)}$
   $= - \lim_{h \to 0} \frac{\sin(2h)}{2h} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sin(2x+2h)\sin(2x)}$
   $= - 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sin(2x)\sin(2x)} = -2\csc^2(2x)$

   উত্তর: $-2\csc^2(2x)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ হতে,
   $x = \sin\left(\frac{1}{m}\ln y\right)$
   $\implies \sin^{-1}x = \frac{1}{m}\ln y$
   $\implies \ln y = m\sin^{-1}x$
   $\implies y = e^{m\sin^{-1}x}$

   $x$ এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই,
   $y_1 = \frac{dy}{dx} = e^{m\sin^{-1}x} \cdot \frac{d}{dx}(m\sin^{-1}x) = y \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^2}}$
   $\implies \sqrt{1-x^2} y_1 = my$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(1-x^2)y_1^2 = m^2y^2$

   পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}[(1-x^2)y_1^2] = \frac{d}{dx}[m^2y^2]$
   $\implies (1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + (-2x) y_1^2 = m^2 \cdot 2y y_1$

   উভয়পক্ষকে $2y_1$ দ্বারা ভাগ করে পাই ($y_1 \neq 0$ ধরে),
   $(1-x^2)y_2 - xy_1 = m^2y$
   (প্রমাণিত)