উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

x2+y2+6x+8y+21=0,x2+y2=9;x+y=6 x^{2}+y^{2}+6 x+8 y+21=0, x^{2}+y^{2}=9 ; x+y=6

  1. ক)

    উদ্দীপকের ১ম বৃত্তের x², y², x এবং y এর সহগগুলি একত্রে ব্যবহার করে কতটি সংখ্যা গঠন করা যায়?

    (2)
  2. খ)

    দেখাও যে, উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে (−95,−125) \left(-\frac{9}{5},-\frac{12}{5}\right) বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।

    (4)
  3. গ)

    উদ্দীপকের ১ম বৃত্ত ও রেখাটির ছেদবিন্দুগামী এবং ২য় বৃত্তের কেন্দ্রগামী বৃত্তটির দ্বারা x অক্ষ থেকে খন্ডিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের ১ম বৃত্ত: x² + y² + 6x + 8y + 21 = 0
    এখানে,
    x² এর সহগ = 1
    y² এর সহগ = 1
    x এর সহগ = 6
    y এর সহগ = 8
    অঙ্কগুলো হলো: 1, 1, 6, 8 (মোট ৪টি অঙ্ক, যার মধ্যে দুটি 1 সদৃশ)।

    সুতরাং, অঙ্কগুলো একত্রে ব্যবহার করে গঠিত মোট সংখ্যা = 4! / 2! = 24 / 2 = 12 টি।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ১ম বৃত্ত: x² + y² + 6x + 8y + 21 = 0
    এর কেন্দ্র C₁ = (-3, -4)
    ব্যাসার্ধ r₁ = √((-3)² + (-4)² - 21) = √(9 + 16 - 21) = √4 = 2

    ২য় বৃত্ত: x² + y² = 9
    এর কেন্দ্র C₂ = (0, 0)
    ব্যাসার্ধ r₂ = √9 = 3

    কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, C₁C₂ = √((-3 - 0)² + (-4 - 0)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
    এখানে, r₁ + r₂ = 2 + 3 = 5
    যেহেতু কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের সমষ্টির সমান (C₁C₂ = r₁ + r₂), তাই বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।

    বৃত্তদ্বয়ের স্পর্শবিন্দুটি C₁(-3, -4) এবং C₂(0, 0) এর সংযোগ রেখাংশকে r₁ : r₂ = 2 : 3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
    অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
    x = (2 * 0 + 3 * (-3)) / (2 + 3) = -9/5
    y = (2 * 0 + 3 * (-4)) / (2 + 3) = -12/5

    সুতরাং, বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে (-9/5, -12/5) বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ১ম বৃত্ত: x² + y² + 6x + 8y + 21 = 0 ... (i)
    প্রদত্ত রেখা: x + y - 6 = 0 ... (ii)
    (i) ও (ii) এর ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ:
    (x² + y² + 6x + 8y + 21) + k(x + y - 6) = 0 ... (iii)

    ২য় বৃত্ত x² + y² = 9 এর কেন্দ্র হলো (0, 0)।
    যেহেতু (iii) নং বৃত্তটি (0, 0) বিন্দুগামী:
    (0 + 0 + 0 + 0 + 21) + k(0 + 0 - 6) = 0
    => 21 - 6k = 0
    => k = 21/6 = 7/2

    k এর মান (iii) এ বসিয়ে পাই:
    x² + y² + 6x + 8y + 21 + (7/2)(x + y - 6) = 0
    => 2(x² + y² + 6x + 8y + 21) + 7(x + y - 6) = 0
    => 2x² + 2y² + 12x + 16y + 42 + 7x + 7y - 42 = 0
    => 2x² + 2y² + 19x + 23y = 0
    => x² + y² + (19/2)x + (23/2)y = 0 ... (iv)

    (iv) নং বৃত্তের সাধারণ আকার x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
    2g = 19/2 => g = 19/4
    c = 0

    অতএব, x-অক্ষ হতে খণ্ডিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(g² - c)
    = 2√((19/4)² - 0)
    = 2 * (19/4) = 19/2 একক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন