উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   x² + y² - 12x - 8y + 34 = 0
   বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
   2g = -12 ⇒ g = -6
   2f = -8 ⇒ f = -4
   c = 34

   অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র = (-g, -f) = (6, 4)
   এবং ব্যাসার্ধ, r = √(g² + f² - c)
   = √((-6)² + (-4)² - 34)
   = √(36 + 16 - 34)
   = √18 = 3√2 একক।

   উত্তর: কেন্দ্র (6, 4) এবং ব্যাসার্ধ 3√2 একক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ এর চিত্রানুযায়ী:
   বৃত্তটি y-অক্ষকে মূলবিন্দু (0, 0) তে স্পর্শ করে না বরং (0, -4) বিন্দুতে স্পর্শ করে (যেহেতু স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক চিত্রে (0, -4) নির্দেশিত এবং x-অক্ষ থেকে কর্তিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 6 একক)।
   ধরি, বৃত্তটির কেন্দ্র (h, k)।
   যেহেতু বৃত্তটি y-অক্ষকে (0, -4) বিন্দুতে স্পর্শ করে, সুতরাং কেন্দ্রের কোটি k = -4 এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = |h|।
   বৃত্তটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত, ফলে h > 0, অর্থাৎ r = h।

   x-অক্ষ থেকে কর্তিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(r² - k²) = 6
   ⇒ √(h² - (-4)²) = 3
   ⇒ h² - 16 = 9
   ⇒ h² = 25
   ⇒ h = 5 [∵ চিত্রানুযায়ী বৃত্তটি প্রথম ও চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত, h > 0]

   সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র = (5, -4) এবং ব্যাসার্ধ r = 5 একক।

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ:
   (x - 5)² + (y - (-4))² = 5²
   ⇒ (x - 5)² + (y + 4)² = 25
   ⇒ x² - 10x + 25 + y² + 8y + 16 = 25
   ⇒ x² + y² - 10x + 8y + 16 = 0

   উত্তর: x² + y² - 10x + 8y + 16 = 0

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ এর বৃত্তের সমীকরণ:
   x² + y² + 2x + 3y + 1 = 0
   বৃত্তটির কেন্দ্র C = (-1, -3/2)
   ব্যাসার্ধ R = √((-1)² + (-3/2)² - 1) = √(1 + 9/4 - 1) = √(9/4) = 3/2 একক।

   ১. স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:
   মূলবিন্দু (0, 0) থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:
   L = √(0² + 0² + 2(0) + 3(0) + 1) = √1 = 1 একক।

   ২. স্পর্শকের সমীকরণ:
   মূলবিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ: y = mx ⇒ mx - y = 0
   এই রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে কেন্দ্র (-1, -3/2) হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধ R এর সমান হবে।
   অতএব,
   |m(-1) - (-3/2)| / √(m² + (-1)²) = 3/2
   ⇒ |-m + 3/2| / √(m² + 1) = 3/2
   ⇒ |(3 - 2m)/2| = (3/2)√(m² + 1)
   ⇒ |3 - 2m| = 3√(m² + 1)

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   (3 - 2m)² = 9(m² + 1)
   ⇒ 9 - 12m + 4m² = 9m² + 9
   ⇒ 5m² + 12m = 0
   ⇒ m(5m + 12) = 0
   ⇒ m = 0 অথবা m = -12/5

   যখন m = 0, স্পর্শকের সমীকরণ: y = 0
   যখন m = -12/5, স্পর্শকের সমীকরণ: y = (-12/5)x ⇒ 12x + 5y = 0

   উত্তর: স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 1 একক এবং স্পর্শকের সমীকরণদ্বয়: y = 0 ও 12x + 5y = 0।