উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y) = (-4, -4)$

   পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ হলে,
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

   যেহেতু বিন্দুটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
   $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{-4}{-4}\right| = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ বা, $\theta = \pi + \tan^{-1}(1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ ($225^\circ$)

   অতএব, নির্ণেয় পোলার স্থানাঙ্ক: $\left(4\sqrt{2}, -\frac{3\pi}{4}\right)$ বা $\left(4\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ থেকে পাই, $ABC$ ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় $A(-3, 9)$, $B(-3, -2)$ এবং $C(5, -8)$।

   $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল:
   $\Delta = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$
   $= \frac{1}{2} |(-3)(-2 - (-8)) + (-3)(-8 - 9) + 5(9 - (-2))|$
   $= \frac{1}{2} |(-3)(6) + (-3)(-17) + 5(11)|$
   $= \frac{1}{2} |-18 + 51 + 55|$
   $= \frac{1}{2} |88| = 44$ বর্গ একক।

   $BC$ বাহুর দৈর্ঘ্য, $BC = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-8 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ একক।

   ধরি, $A$ বিন্দু হতে $BC$-এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $p$।
   আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
   $\implies 44 = \frac{1}{2} \times BC \times p$
   $\implies 44 = \frac{1}{2} \times 10 \times p$
   $\implies 5p = 44$
   $\implies p = \frac{44}{5} = 8.8$ একক।

   অতএব, নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য $8.8$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ অনুসারে, $OBCA$ একটি সামান্তরিক, যেখানে $O(0, 0)$ এবং $C(4, 3)$।
   দেওয়া আছে, $OA$ রেখার সমীকরণ: $y = 3x$ ... (i)

   চিত্রানুযায়ী, $B$ বিন্দুটি $X$-অক্ষের ধনাত্মক দিকে অবস্থিত। ধরি, $B$-এর স্থানাঙ্ক $(b, 0)$।
   সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
   সুতরাং, $OC$ কর্ণের মধ্যবিন্দু $= \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+3}{2}\right) = \left(2, \frac{3}{2}\right)$

   আবার, $AB$ কর্ণের মধ্যবিন্দুও $\left(2, \frac{3}{2}\right)$ হবে।
   ধরি, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x_1, y_1)$।
   তাহলে, $AB$-এর মধ্যবিন্দু $= \left(\frac{x_1 + b}{2}, \frac{y_1 + 0}{2}\right)$

   শর্তমতে,
   $\frac{y_1}{2} = \frac{3}{2} \implies y_1 = 3$

   যেহেতু $A(x_1, y_1)$ বিন্দুটি $OA$ রেখা $y = 3x$-এর উপর অবস্থিত,
   $3 = 3x_1 \implies x_1 = 1$
   অতএব, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1, 3)$।

   আবার,
   $\frac{x_1 + b}{2} = 2 \implies \frac{1 + b}{2} = 2 \implies 1 + b = 4 \implies b = 3$
   অতএব, $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3, 0)$।

   এখন, $A(1, 3)$ এবং $B(3, 0)$ বিন্দুগামী $AB$ কর্ণের সমীকরণ:
   $\frac{y - 3}{0 - 3} = \frac{x - 1}{3 - 1}$
   $\implies \frac{y - 3}{-3} = \frac{x - 1}{2}$
   $\implies 2(y - 3) = -3(x - 1)$
   $\implies 2y - 6 = -3x + 3$
   $\implies 3x + 2y - 9 = 0$

   অতএব, $AB$ কর্ণের সমীকরণ $3x + 2y - 9 = 0$।