উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x - \cos x$
   $\int \{f(x)\}^2 dx = \int (\sin x - \cos x)^2 dx$
   $= \int (\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x) dx$
   $= \int (1 - \sin 2x) dx$
   $= x - \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) + c$
   $= x + \frac{1}{2}\cos 2x + c$, যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $I = \int \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)} dx = \int \frac{1 - (\sin x - \cos x)}{1 + (\sin x - \cos x)} dx$
   $= \int \frac{(1 + \cos x) - \sin x}{(1 - \cos x) + \sin x} dx$

   আমরা জানি, $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$, $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$, এবং $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$।
   লব ও হরকে রূপান্তর করে:
   $= \int \frac{2\cos^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} dx$
   $= \int \frac{2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}\right)}{2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)} dx$
   $= \int \cot\frac{x}{2} \cdot \frac{\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}} dx$

   বিকল্পভাবে, হর ও লবকে $\sqrt{2}$ আকারে নিয়ে অথবা $t = \tan(x/2)$ ধরেও সমাধান করা যায়:
   $1 + \sin x - \cos x = 0$-এর সাধারণ সমাকলন নির্ণয়ে:
   ধরি $I = \int \frac{1 - \sin x + \cos x}{1 + \sin x - \cos x} dx$
   লবকে হরের সাপেক্ষে প্রকাশ করে:
   লব $= A (\text{হর}) + B \frac{d}{dx}(\text{হর}) + C$
   $1 - \sin x + \cos x = A(1 + \sin x - \cos x) + B(\cos x + \sin x) + C$
   $\implies 1 - \sin x + \cos x = (A + C) + \sin x(A + B) + \cos x(-A + B)$
   সহগ সমীকৃত করে পাই:
   $A + B = -1$
   $-A + B = 1 \implies B - A = 1$
   যোগ করে: $2B = 0 \implies B = 0$
   অতএব $A = -1$
   ধ্রুবক পদ: $A + C = 1 \implies -1 + C = 1 \implies C = 2$

   অতএব,
   $I = \int \left( -1 + \frac{2}{1 + \sin x - \cos x} \right) dx = -x + 2 \int \frac{dx}{1 + \sin x - \cos x}$

   এখন, $\int \frac{dx}{1 + \sin x - \cos x}$ নির্ণয় করতে $t = \tan\frac{x}{2}$ বসাই, ফলে $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$, $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$:
   $\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1 + \frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2 + 2t - 1 + t^2} = \int \frac{2dt}{2t^2 + 2t} = \int \frac{dt}{t(t+1)}$
   $= \int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) dt = \ln|t| - \ln|t+1| = \ln\left|\frac{t}{t+1}\right|$
   $= \ln\left|\frac{\tan(x/2)}{\tan(x/2) + 1}\right|$

   অতএব,
   $I = -x + 2\ln\left|\frac{\tan(x/2)}{1 + \tan(x/2)}\right| + c$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $g(x) = x^4$
   $\therefore g(\cos\theta) = \cos^4\theta$

   বামপক্ষ $= \int_0^{\pi/4} \cos^4\theta \, d\theta$
   আমরা জানি, $\cos^4\theta = (\cos^2\theta)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)^2$
   $= \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$
   $= \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos 2\theta + \frac{1 + \cos 4\theta}{2}\right)$
   $= \frac{1}{8} (2 + 4\cos 2\theta + 1 + \cos 4\theta)$
   $= \frac{1}{8} (3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta)$

   এখন নির্দিষ্ট যোগজ নির্ণয় করি:
   $\int_0^{\pi/4} \cos^4\theta \, d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{\pi/4} (3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta) \, d\theta$
   $= \frac{1}{8} \left[ 3\theta + 4\cdot\frac{\sin 2\theta}{2} + \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_0^{\pi/4}$
   $= \frac{1}{8} \left[ 3\theta + 2\sin 2\theta + \frac{1}{4}\sin 4\theta \right]_0^{\pi/4}$
   $= \frac{1}{8} \left[ \left(3 \cdot \frac{\pi}{4} + 2\sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}\sin\pi\right) - (0 + 0 + 0) \right]$
   $= \frac{1}{8} \left( \frac{3\pi}{4} + 2(1) + 0 \right)$
   $= \frac{1}{8} \left( \frac{3\pi}{4} + 2 \right)$
   $= \frac{3\pi}{32} + \frac{2}{8}$
   $= \frac{3\pi}{32} + \frac{1}{4}$ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।