উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 = -7y$
   বা, $x^2 = -4 \cdot \frac{7}{4} \cdot y$

   এটিকে $x^2 = -4ay$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
   $a = \frac{7}{4}$

   আমরা জানি, $x^2 = -4ay$ পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ $y = a$
   বা, $y = \frac{7}{4}$
   বা, $4y - 7 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ: $4y - 7 = 0$ (বা $y = \frac{7}{4}$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণ:
   $4x^2 - 8x + 8y^2 - 8y = 10$
   $\implies 4(x^2 - 2x) + 8(y^2 - y) = 10$
   $\implies 4(x^2 - 2x + 1) + 8\left(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 10 + 4(1) + 8\left(\frac{1}{4}\right)$
   $\implies 4(x - 1)^2 + 8\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = 10 + 4 + 2 = 16$

   উভয়পক্ষকে $16$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{\left(y - \frac{1}{2}\right)^2}{2} = 1$

   এটিকে আদর্শ সমীকরণ $\frac{(x - \alpha)^2}{a^2} + \frac{(y - \beta)^2}{b^2} = 1$-এর সাথে তুলনা করে পাই,
   কেন্দ্র $(\alpha, \beta) = \left(1, \frac{1}{2}\right)$
   $a^2 = 4 \implies a = 2$
   $b^2 = 2 \implies b = \sqrt{2}$
   যেহেতু $a > b$, তাই উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয় যথাক্রমে x-অক্ষের সমান্তরাল এবং y-অক্ষের সমান্তরাল।

   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

   ১. কেন্দ্র: $\left(1, \frac{1}{2}\right)$
   ২. উপকেন্দ্রদ্বয়: $(\alpha \pm ae, \beta) = \left(1 \pm 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right) = \left(1 \pm \sqrt{2}, \frac{1}{2}\right)$
   ৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 2}{2} = 2$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,
   কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{3}$।
   যেহেতু $e < 1$, অতএব কণিকটি একটি উপবৃত্ত।

   কণিকটির কেন্দ্র $C(-2, -2)$ এবং একটি শীর্ষবিন্দু $A(4, -1)$।

   কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব হলো বৃহৎ অর্ধ-অক্ষের দৈর্ঘ্য $a$:
   $a = CA = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$
   $\therefore a^2 = 37$

   উপবৃত্তের ক্ষেত্রে আমরা জানি,
   $b^2 = a^2(1 - e^2) = 37\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = 37\left(1 - \frac{1}{9}\right) = 37 \times \frac{8}{9} = \frac{296}{9}$

   বৃহৎ অক্ষটি কেন্দ্র $C(-2, -2)$ এবং শীর্ষবিন্দু $A(4, -1)$-এর সংযোগকারী সরলরেখা বরাবর অবস্থিত।
   বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ:
   $\frac{y - (-2)}{-2 - (-1)} = \frac{x - (-2)}{-2 - 4}$
   $\implies \frac{y + 2}{-1} = \frac{x + 2}{-6}$
   $\implies 6(y + 2) = x + 2$
   $\implies 6y + 12 = x + 2$
   $\implies x - 6y - 10 = 0$

   ক্ষুদ্র অক্ষটি বৃহৎ অক্ষের উপর লম্ব এবং কেন্দ্র $(-2, -2)$ বিন্দুগামী।
   বৃহৎ অক্ষের লম্ব রেখার সমীকরণ:
   $6x + y + k = 0$
   যেহেতু রেখাটি $(-2, -2)$ বিন্দুগামী:
   $6(-2) + (-2) + k = 0 \implies -14 + k = 0 \implies k = 14$
   অতএব, ক্ষুদ্র অক্ষের সমীকরণ: $6x + y + 14 = 0$

   উপবৃত্তের যে কোনো বিন্দু $P(x, y)$ থেকে ক্ষুদ্র অক্ষের লম্বদূরত্ব $d_1$ এবং বৃহৎ অক্ষের লম্বদূরত্ব $d_2$ হলে,
   $\frac{d_1^2}{a^2} + \frac{d_2^2}{b^2} = 1$
   যেখানে,
   $d_1 = \frac{|6x + y + 14|}{\sqrt{6^2 + 1^2}} = \frac{|6x + y + 14|}{\sqrt{37}}$
   $d_2 = \frac{|x - 6y - 10|}{\sqrt{1^2 + (-6)^2}} = \frac{|x - 6y - 10|}{\sqrt{37}}$

   মান বসিয়ে পাই,
   $\frac{\frac{(6x + y + 14)^2}{37}}{37} + \frac{\frac{(x - 6y - 10)^2}{37}}{\frac{296}{9}} = 1$
   $\implies \frac{(6x + y + 14)^2}{1369} + \frac{9(x - 6y - 10)^2}{10952} = 1$

   অতএব, কণিকটির নাম উপবৃত্ত এবং এর সমীকরণ:
   $\frac{(6x + y + 14)^2}{1369} + \frac{9(x - 6y - 10)^2}{10952} = 1$