উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি,
   $\cos 3A = \cos (2A + A)$
   $= \cos 2A \cos A - \sin 2A \sin A$
   $= (2\cos^2 A - 1)\cos A - (2\sin A \cos A)\sin A$
   $= 2\cos^3 A - \cos A - 2\sin^2 A \cos A$
   $= 2\cos^3 A - \cos A - 2(1 - \cos^2 A)\cos A$
   $= 2\cos^3 A - \cos A - 2\cos A + 2\cos^3 A$
   $= 4\cos^3 A - 3\cos A$

   অতএব, $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত ত্রিভুজ $ABC$-এর ক্ষেত্রে, $A + B + C = \pi$ বা $A + B = \pi - C$।

   প্রদত্ত রাশি:
   $E = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$

   $= \frac{1}{2}(2\cos^2 A + 2\cos^2 B) + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= \frac{1}{2}[(1 + \cos 2A) + (1 + \cos 2B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= \frac{1}{2}[2 + (\cos 2A + \cos 2B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 + \frac{1}{2}\left[2\cos(A+B)\cos(A-B)\right] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 + \cos(\pi - C)\cos(A-B) + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C \cos(A-B) + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C [\cos(A-B) - \cos C] + 2\cos A \cos B \cos C$
   যেহেতু $C = \pi - (A+B)$, তাই $\cos C = -\cos(A+B)$:
   $= 1 - \cos C [\cos(A-B) + \cos(A+B)] + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - \cos C [2\cos A \cos B] + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1 - 2\cos A \cos B \cos C + 2\cos A \cos B \cos C$
   $= 1$

   অতএব, নির্ণেয় মান $1$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, ত্রিভুজ $ABC$-এর ক্ষেত্রে সাইন সূত্রানুসারে,
   $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
   যেখানে $R$ হলো ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ।

   সুতরাং, $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$ এবং $c = 2R\sin C$।

   এখন, ডানপক্ষ:
   $= \frac{b + c}{2a}$
   $= \frac{2R\sin B + 2R\sin C}{2(2R\sin A)}$
   $= \frac{\sin B + \sin C}{2\sin A}$
   $= \frac{2\sin\left(\frac{B+C}{2}\right)\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{2\cdot 2\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)}$

   যেহেতু $A + B + C = 180^\circ$, সুতরাং $\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$।
   তাহলে, $\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right)$।

   মান বসিয়ে পাই:
   $= \frac{2\cos\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{4\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{A}{2}\right)}$
   $= \frac{\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{A}{2}\right)}$

   দেওয়া আছে, $A = 60^\circ$।
   অতএব, $\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$।

   সুতরাং,
   $= \frac{\cos\left(\frac{B-C}{2}\right)}{2 \cdot \frac{1}{2}}$
   $= \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) = \text{বামপক্ষ}$

   অতএব, $\cos\frac{B-C}{2} = \frac{b+c}{2a}$। (দেখানো হলো)