উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি = $\sin\tan^{-1}\cos\sec^{-1}y$
   আমরা জানি, $\sec^{-1}y = \cos^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$
   সুতরাং, $\cos(\sec^{-1}y) = \cos\left(\cos^{-1}\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{y}$
   অতএব রাশিটি দাঁড়ায়, $\sin\left(\tan^{-1}\frac{1}{y}\right)$
   ধরি, $\tan^{-1}\frac{1}{y} = \alpha \implies \tan\alpha = \frac{1}{y}$
   একটি সমকোণী ত্রিভুজ থেকে, লম্ব = $1$, ভূমি = $y$, অতিভুজ = $\sqrt{1+y^2}$
   $\therefore \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$
   $\implies \sin\left(\tan^{-1}\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$
   নির্ণেয় মান = $\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
   $\therefore f\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$
   এবং $f(\theta) = \sin\theta$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $f\left(\pi f\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) = f\left(\frac{\pi}{2} \pm \pi f(\theta)\right)$
   $\implies f(\pi \cos\theta) = f\left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin\theta\right)$
   $\implies \sin(\pi \cos\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin\theta\right)$
   $\implies \sin(\pi \cos\theta) = \cos(\pm \pi \sin\theta) = \cos(\pi \sin\theta)$
   $\implies \sin(\pi \cos\theta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin\theta\right)$
   উভয়পক্ষ থেকে কোণ তুলনা করে পাই,
   $\pi \cos\theta = \frac{\pi}{2} \pm \pi \sin\theta$
   $\pi$ দ্বারা ভাগ করে,
   $\cos\theta \mp \sin\theta = \frac{1}{2}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(\cos\theta \mp \sin\theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
   $\implies \cos^2\theta + \sin^2\theta \mp 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$
   $\implies 1 \mp \sin 2\theta = \frac{1}{4}$
   $\implies \mp \sin 2\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$
   $\implies \pm \sin 2\theta = \frac{3}{4}$
   $\implies \sin 2\theta = \pm \frac{3}{4}$
   $\implies 2\theta = \pm \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$
   $\implies \theta = \pm \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$
   সুতরাং,
   $f\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \cos 2x$
   $f\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right) = \cos 4x$
   $f\left(\frac{\pi}{2} - 6x\right) = \cos 6x$

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0$
   $\implies (1 + \cos 2x) + (\cos 6x + \cos 4x) = 0$
   আমরা জানি, $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ এবং $\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$
   $\implies 2\cos^2 x + 2\cos 5x \cos x = 0$
   $\implies 2\cos x (\cos x + \cos 5x) = 0$
   $\implies 2\cos x \left(2\cos\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2}\right) = 0$
   $\implies 4\cos x \cos 3x \cos 2x = 0$
   $\implies \cos x \cos 2x \cos 3x = 0$

   অতএব,
   ১) $\cos x = 0 \implies x = (2n_1 + 1)\frac{\pi}{2}$, যেখানে $n_1 \in \mathbb{Z}$
   ২) $\cos 2x = 0 \implies 2x = (2n_2 + 1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2n_2 + 1)\frac{\pi}{4}$, যেখানে $n_2 \in \mathbb{Z}$
   ৩) $\cos 3x = 0 \implies 3x = (2n_3 + 1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2n_3 + 1)\frac{\pi}{6}$, যেখানে $n_3 \in \mathbb{Z}$

   নির্ণেয় সমাধান: $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ বা $(2n+1)\frac{\pi}{4}$ বা $(2n+1)\frac{\pi}{6}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$।