উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত মূল:
   $\alpha = (3 + \sqrt{2}i)^{-1} = \frac{1}{3 + \sqrt{2}i} = \frac{3 - \sqrt{2}i}{(3 + \sqrt{2}i)(3 - \sqrt{2}i)} = \frac{3 - \sqrt{2}i}{9 - 2i^2} = \frac{3 - \sqrt{2}i}{11}$

   যেহেতু সমীকরণটির সহগগুলো মূলদ, তাই জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগলে থাকে।
   অতএব, অপর মূলটি হবে $\beta = \frac{3 + \sqrt{2}i}{11}$।

   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $\alpha + \beta = \frac{3 - \sqrt{2}i}{11} + \frac{3 + \sqrt{2}i}{11} = \frac{6}{11}$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $\alpha \beta = \frac{3^2 - (\sqrt{2}i)^2}{121} = \frac{9 + 2}{121} = \frac{11}{121} = \frac{1}{11}$

   অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$
   $\implies x^2 - \frac{6}{11}x + \frac{1}{11} = 0$
   $\implies 11x^2 - 6x + 1 = 0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ: $ax^2 + bx - c = 2 \implies ax^2 + bx - (c + 2) = 0$
   দেওয়া আছে, $a = 27$, $b = 6$ এবং $c = m$।
   অতএব সমীকরণটি দাঁড়ায়: $27x^2 + 6x - (m + 2) = 0$

   ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\alpha^2$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $\alpha + \alpha^2 = -\frac{6}{27} = -\frac{2}{9}$
   $\implies 9\alpha^2 + 9\alpha + 2 = 0$
   $\implies 9\alpha^2 + 6\alpha + 3\alpha + 2 = 0$
   $\implies 3\alpha(3\alpha + 2) + 1(3\alpha + 2) = 0$
   $\implies (3\alpha + 1)(3\alpha + 2) = 0$
   $\therefore \alpha = -\frac{1}{3}$ অথবা $\alpha = -\frac{2}{3}$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = -\frac{m + 2}{27}$
   $\implies m + 2 = -27\alpha^3$
   $\implies m = -27\alpha^3 - 2$

   যখন $\alpha = -\frac{1}{3}$:
   $m = -27\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 2 = -27\left(-\frac{1}{27}\right) - 2 = 1 - 2 = -1$

   যখন $\alpha = -\frac{2}{3}$:
   $m = -27\left(-\frac{2}{3}\right)^3 - 2 = -27\left(-\frac{8}{27}\right) - 2 = 8 - 2 = 6$

   অতএব, $m$ এর মানগুলো হলো $-1$ এবং $6$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ: $8x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0$

   যেহেতু মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনে রয়েছে, তাই ধরি মূল তিনটি $\frac{a}{r}, a, ar$।

   মূলত্রয়ের গুণফল:
   $\left(\frac{a}{r}\right) \cdot a \cdot (ar) = -\frac{-27}{8} = \frac{27}{8}$
   $\implies a^3 = \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$
   $\implies a = \frac{3}{2}$

   মূলত্রয়ের যোগফল:
   $\frac{a}{r} + a + ar = -\frac{-42}{8} = \frac{21}{4}$
   $\implies a\left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = \frac{21}{4}$
   $\implies \frac{3}{2}\left(\frac{r^2 + r + 1}{r}\right) = \frac{21}{4}$
   $\implies \frac{r^2 + r + 1}{r} = \frac{21}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{2}$
   $\implies 2r^2 + 2r + 2 = 7r$
   $\implies 2r^2 - 5r + 2 = 0$
   $\implies 2r^2 - 4r - r + 2 = 0$
   $\implies 2r(r - 2) - 1(r - 2) = 0$
   $\implies (2r - 1)(r - 2) = 0$
   $\therefore r = 2$ অথবা $r = \frac{1}{2}$

   যখন $r = 2$ এবং $a = \frac{3}{2}$:
   মূল তিনটি হলো: $\frac{3/2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \times 2 \implies \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3$

   যখন $r = \frac{1}{2}$ এবং $a = \frac{3}{2}$:
   মূল তিনটি হলো: $\frac{3/2}{1/2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \implies 3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}$

   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 3$।