উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'MARKET' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = ৬টি।
   এখানে সবগুলো বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
   অতএব, সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে সাজানো সংখ্যা = $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$।

   উত্তর: ৭২০ ভাবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক ও চিত্রানুযায়ী,
   বৃত্তটি মূলবিন্দু $O(0, 0)$ দিয়ে যায়।
   বৃত্তটি $X$-অক্ষকে $A$ বিন্দুতে এবং $Y$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   দেওয়া আছে, $OA = 3$ একক এবং $OB = 5$ একক।
   অতএব, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(3, 0)$ এবং $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, 5)$।

   যেহেতু অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\angle AOB = 90^\circ$ (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ),
   সুতরাং $AB$ রেখাংশ বৃত্তটির একটি ব্যাস।

   অতএব, $A(3, 0)$ এবং $B(0, 5)$ বিন্দুদ্বয়কে ব্যাসের প্রান্তবিন্দু ধরে বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - 3)(x - 0) + (y - 0)(y - 5) = 0$
   $\implies x(x - 3) + y(y - 5) = 0$
   $\implies x^2 - 3x + y^2 - 5y = 0$
   $\implies x^2 + y^2 - 3x - 5y = 0$

   উত্তর: $x^2 + y^2 - 3x - 5y = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'খ' হতে প্রাপ্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 3x - 5y = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C = \left(-\frac{-3}{2}, -\frac{-5}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$।

   ধরি, $O(0, 0)$ বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দু $P(\alpha, \beta)$।
   যেহেতু কেন্দ্র $C$, ব্যাস $OP$-এর মধ্যবিন্দু,
   $\frac{0 + \alpha}{2} = \frac{3}{2} \implies \alpha = 3$
   এবং $\frac{0 + \beta}{2} = \frac{5}{2} \implies \beta = 5$
   অতএব, ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দু $P(3, 5)$।

   এখন, $P(3, 5)$ বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শকের সমীকরণ:
   $x \cdot 3 + y \cdot 5 - \frac{3}{2}(x + 3) - \frac{5}{2}(y + 5) = 0$
   $\implies 3x + 5y - \frac{3x + 9}{2} - \frac{5y + 25}{2} = 0$
   উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $6x + 10y - (3x + 9) - (5y + 25) = 0$
   $\implies 6x + 10y - 3x - 9 - 5y - 25 = 0$
   $\implies 3x + 5y - 34 = 0$

   উত্তর: $3x + 5y - 34 = 0$