উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $2x^2 - 2(p+q)x + (p^2+q^2) = 0$
   সমীকরণটির নিশ্চয়ক (Discriminant),
   $D = [-2(p+q)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p^2+q^2)$
   $= 4(p+q)^2 - 8(p^2+q^2)$
   $= 4(p^2 + 2pq + q^2) - 8p^2 - 8q^2$
   $= 4p^2 + 8pq + 4q^2 - 8p^2 - 8q^2$
   $= -4p^2 + 8pq - 4q^2$
   $= -4(p^2 - 2pq + q^2)$
   $= -4(p-q)^2$

   যদি $p \neq q$ হয়, তবে $(p-q)^2 > 0$।
   অতএব, $D = -4(p-q)^2 < 0$, যা একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
   যেহেতু সমীকরণটির নিশ্চয়ক ঋণাত্মক, তাই মূলদ্বয় অবাস্তব বা জটিল হবে।
   সুতরাং, $p=q$ না হলে সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হতে পারে না। (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\bar{z} = x + iy \implies z = x - iy$।
   অতএব, $|z+3| + |z-3| = 10$
   $\implies |(x+3) - iy| + |(x-3) - iy| = 10$
   $\implies \sqrt{(x+3)^2 + (-y)^2} + \sqrt{(x-3)^2 + (-y)^2} = 10$
   $\implies \sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 10 - \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(x+3)^2 + y^2 = 100 - 20\sqrt{(x-3)^2 + y^2} + (x-3)^2 + y^2$
   $\implies x^2 + 6x + 9 + y^2 = 100 - 20\sqrt{(x-3)^2 + y^2} + x^2 - 6x + 9 + y^2$
   $\implies 12x - 100 = -20\sqrt{(x-3)^2 + y^2}$
   $\implies 3x - 25 = -5\sqrt{(x-3)^2 + y^2}$
   পুনরায় উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(3x - 25)^2 = 25[(x-3)^2 + y^2]$
   $\implies 9x^2 - 150x + 625 = 25(x^2 - 6x + 9 + y^2)$
   $\implies 9x^2 - 150x + 625 = 25x^2 - 150x + 225 + 25y^2$
   $\implies 16x^2 + 25y^2 = 400$
   $\implies \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$
   এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, যার আদর্শ রূপ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, যেখানে $a=5, b=4$ এবং $a>b$।
   অতএব, সঞ্চারপথটির শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(\pm a, 0) = (\pm 5, 0)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $q(x) = lx^2 + mx + n$ এবং $r(x) = nx^2 + mx + l$ (টাইপো $nx+mx+l$ হলে $r(x)=nx^2+mx+l$ বিবেচনাযোগ্য)।
   ধরি, $q(x) = 0 \implies lx^2 + mx + n = 0$ সমীকরণের একটি মূল $\alpha$।
   তাহলে, $r(x) = 0 \implies nx^2 + mx + l = 0$ সমীকরণের একটি মূল হবে $2\alpha$।

   যেহেতু $\alpha$ এবং $2\alpha$ যথাক্রমে সমীকরণদ্বয়কে সিদ্ধ করে:
   $l\alpha^2 + m\alpha + n = 0$ ------- (১)
   $n(2\alpha)^2 + m(2\alpha) + l = 0 \implies 4n\alpha^2 + 2m\alpha + l = 0$ ------- (২)

   বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই:
   $\frac{\alpha^2}{ml - 2mn} = \frac{\alpha}{4n^2 - l^2} = \frac{1}{2lm - 4mn}$
   $\implies \frac{\alpha^2}{m(l - 2n)} = \frac{\alpha}{(2n - l)(2n + l)} = \frac{1}{2m(l - 2n)}$

   প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত হতে:
   $\alpha^2 = \frac{m(l - 2n)}{2m(l - 2n)} = \frac{1}{2}$

   দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত হতে:
   $\alpha = \frac{-(l - 2n)(2n + l)}{2m(l - 2n)} = -\frac{l + 2n}{2m}$ (যদি $l - 2n \neq 0$ হয়)

   যদি $l - 2n = 0$ হয়, তবে $l = 2n$।
   আর যদি $l - 2n \neq 0$ হয়, তবে $\alpha = -\frac{l+2n}{2m}$।
   যেহেতু $\alpha^2 = \frac{1}{2}$, সুতরাং:
   $\left(-\frac{l+2n}{2m}\right)^2 = \frac{1}{2}$
   $\implies \frac{(l+2n)^2}{4m^2} = \frac{1}{2}$
   $\implies 2(l+2n)^2 = 4m^2$
   $\implies (l+2n)^2 = 2m^2$ বা $2m^2 = (l+2n)^2$

   অতএব, $l = 2n$ অথবা $2m^2 = (l+2n)^2$। (দেখানো হলো)