পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশক ভেক্টরকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, $|\vec{A} \times \vec{B}| = \vec{A} \cdot \vec{B}$ হতে পারে।
   আমরা জানি, $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin\theta$ এবং $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos\theta$, যেখানে $\theta$ হলো ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) এবং $A, B \neq 0$।
   শর্তানুসারে,
   $AB \sin\theta = AB \cos\theta$
   $\Rightarrow \tan\theta = 1$
   $\Rightarrow \theta = 45^\circ$
   সুতরাং, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $45^\circ$ হলে তাদের ভেক্টর গুণনের মান ও স্কেলার গুণনের মান সমান হবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে,
   স্রোতের বেগ, $u = 2\text{ m s}^{-1}$
   নৌকার বেগ, $v = 6\text{ m s}^{-1}$
   স্রোতের সাথে নৌকার বেগের কোণ, $\alpha = 70^\circ$

   নৌকার লব্ধি বেগ $w$ হলে,
   $w = \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos\alpha}$
   $w = \sqrt{2^2 + 6^2 + 2 \times 2 \times 6 \times \cos 70^\circ}$
   $w = \sqrt{4 + 36 + 24 \times 0.34202}$
   $w = \sqrt{40 + 8.2085} = \sqrt{48.2085} \approx 6.94\text{ m s}^{-1}$

   অতএব, নৌকার লব্ধি বেগ ছিল $6.94\text{ m s}^{-1}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নদীর প্রস্থ, $d = 1\text{ km} = 1000\text{ m}$
   নদী পার হতে নৌকার প্রয়োজনীয় সময়:
   নদীর প্রস্থ বরাবর নৌকার কার্যকর বেগ = $v \sin 70^\circ = 6 \times \sin 70^\circ \approx 5.638\text{ m s}^{-1}$
   অতএব, নদী পার হতে সময়, $t = \frac{d}{v \sin 70^\circ} = \frac{1000}{5.638} \approx 177.36\text{ s}$

   নদীর তীর বরাবর (স্রোতের অভিমুখে) নৌকার লব্ধি বেগ:
   $v_x = u + v \cos 70^\circ = 2 + 6 \cos 70^\circ = 2 + 2.052 = 4.052\text{ m s}^{-1}$
   এই $t$ সময়ে নদী পার হয়ে অপর তীরে পৌঁছালে তীর বরাবর নৌকার সরণ:
   $x_{\text{boat}} = v_x \times t = 4.052 \times 177.36 \approx 718.66\text{ m}$

   অন্যদিকে, বাসটি অপর তীর বরাবর $v_{\text{bus}} = 4\text{ m s}^{-1}$ বেগে গতিশীল।
   একই সময়ে বাসের সরণ:
   $x_{\text{bus}} = v_{\text{bus}} \times t = 4 \times 177.36 = 709.44\text{ m}$

   এখানে, লোকটি ঠিক নদী পার হওয়ার মুহূর্ত পর্যন্ত বাসের চেয়ে কিছুটা এগিয়ে যায় ($x_{\text{boat}} > x_{\text{bus}}$)। যেহেতু নৌকার অনুভূমিক বেগ ($4.052\text{ m s}^{-1}$) বাসের বেগের ($4\text{ m s}^{-1}$) চেয়ে বেশি এবং একই আদি অবস্থান থেকে শুরু হয়েছিল, তাই নদী পার হওয়ার ঠিক পূর্বে বা তীরে পৌঁছানোর মুহূর্তে তাদের অবস্থানের সংযোগ ঘটবে না যদি না বাসটি যাত্রা করার মুহূর্তে সোজাসুজি অবস্থান থেকে শুরু করে। প্রশ্নে বলা আছে—ব্যক্তি সোজাসুজি বাসটিকে দেখতে পেয়ে রওনা দিলো, অর্থাৎ শুরুতে বাসের অবস্থান ছিল ঠিক নদীর অপর প্রান্তের লম্ববিন্দুতে। সুতরাং $t = 177.36\text{ s}$ সময়ে নৌকাটি বাসের চেয়ে প্রায় $9.22\text{ m}$ সামনে পৌঁছাবে। ফলে নৌকা তীরে পৌঁছার পর বাসটিকে ধরার মতো উপযুক্ত সুযোগ থাকবে বা লোকটি কিছুটা অপেক্ষা করলেই বাসটি তার অবস্থানে পৌঁছে যাবে। অতএব, লোকটির পক্ষে বাসটি ধরা সম্ভব হবে।