উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   রতনের হাজিরা তথ্যের মানসমূহ: 44, 76, 58, 64, 48, 59, 50।
   এখানে,
   সর্বোচ্চ মান, $L = 76$
   সর্বনিম্ন মান, $S = 44$

   পরিসরাঙ্ক (Coefficient of Range), $\text{CR} = \frac{L - S}{L + S} \times 100\%$
   $= \frac{76 - 44}{76 + 44} \times 100\%$
   $= \frac{32}{120} \times 100\%$
   $= 26.67\%$

   অতএব, রতনের হাজিরা তথ্যের পরিসরাঙ্ক 26.67% (বা ভগ্নাংশে 0.2667)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মিলনের ক্ষেত্রে বিষয়ের সংখ্যা, $n = 7$ এবং গড় হাজিরা, $\bar{x} = 57\%$
   আমরা জানি, $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
   বা, $57 = \frac{48 + 64 + 50 + 67 + 70 + x_6 + 55}{7}$
   বা, $399 = 354 + x_6$
   বা, $x_6 = 399 - 354 = 45$

   এখন, গড় হতে পরম ব্যবধানসমূহ নির্ণয় করি:
   $|x_i - \bar{x}|$ এর মানগুলো হলো:
   $|48 - 57| = 9$
   $|64 - 57| = 7$
   $|50 - 57| = 7$
   $|67 - 57| = 10$
   $|70 - 57| = 13$
   $|45 - 57| = 12$
   $|55 - 57| = 2$

   $\sum |x_i - \bar{x}| = 9 + 7 + 7 + 10 + 13 + 12 + 2 = 60$

   গড় ব্যবধান, $\text{MD}(\bar{x}) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{60}{7} \approx 8.5714$

   অতএব, গড় ব্যবধানাঙ্ক, $\text{CMD} = \frac{\text{MD}(\bar{x})}{\bar{x}} \times 100\%$
   $= \frac{8.5714}{57} \times 100\%$
   $= 15.0375\% \approx 15.04\%$
   (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   রতনের হাজিরা তথ্যের মানসমূহ ($y_i$): 44, 76, 58, 64, 48, 59, 50।
   বিষয়ের সংখ্যা, $n = 7$

   রতনের গড় হাজিরা:
   $\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{44 + 76 + 58 + 64 + 48 + 59 + 50}{7} = \frac{399}{7} = 57\%$
   এখানে, গড় হাজিরা $57\% > 55\%$, অর্থাৎ গড় হাজিরার দিক থেকে রতন যোগ্য।

   এখন, বিভেদাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য পরিমিত ব্যবধান ($\sigma$) নির্ণয় করি:
   $\sum y_i^2 = 44^2 + 76^2 + 58^2 + 64^2 + 48^2 + 59^2 + 50^2$
   $= 1936 + 5776 + 3364 + 4096 + 2304 + 3481 + 2500 = 23457$

   ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2$
   $= \frac{23457}{7} - (57)^2$
   $= 3351 - 3249 = 102$

   সুতরাং, পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{102} \approx 10.0995$

   বিভেদাঙ্ক (CV):
   $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{y}} \times 100\%$
   $= \frac{10.0995}{57} \times 100\% \approx 17.72\%$

   শর্ত অনুযায়ী, কোনো শিক্ষার্থীর বিভেদাঙ্ক $17\%$ এর বেশি হলে সে ফরম পূরণ করতে পারবে না।
   যেহেতু রতনের বিভেদাঙ্ক $17.72\%$, যা $17\%$ এর চেয়ে বেশি ($17.72\% > 17\%$), তাই রতন পরীক্ষার ফরম পূরণ করতে পারবে না।