উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

N=[1−22212−22−1],X=[xyz] N = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \ 2 & 1 & 2 \ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} এবং B=[354] B = \begin{bmatrix} 3 \ 5 \ 4 \end{bmatrix}

  1. ক)

    (c−5−652c3a−3c) \begin{pmatrix} c & -5 & -6 \ 5 & 2c & 3 \ a & -3 & c \end{pmatrix} ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম হলে, c+a=? c + a = ?

    (2)
  2. খ)

    NX=B NX = B হলে ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে সমীকরণ জোটটি সমাধান কর।

    (4)
  3. গ)

    MN=I3 MN = I_3 (অভেদক ম্যাট্রিক্স) হলে M ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, A=(c−5−652c3a−3c)A = \begin{pmatrix} c & -5 & -6 \\ 5 & 2c & 3 \\ a & -3 & c \end{pmatrix}

    ম্যাট্রিক্সটি বিপ্রতিসম (Skew-symmetric) হবে যদি AT=−AA^T = -A হয়।

    আমরা জানি, বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের মুখ্য কর্ণের সকল ভুক্তি শূন্য হয়।
    সুতরাং, c=0c = 0 এবং 2c=0  ⟹  c=02c = 0 \implies c = 0।

    আবার, বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে aij=−ajia_{ij} = -a_{ji} হয়।
    অতএব, a31=−a13a_{31} = -a_{13}
      ⟹  a=−(−6)=6\implies a = -(-6) = 6

    ∴c+a=0+6=6\therefore c + a = 0 + 6 = 6 (Ans.)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত, NX=BNX = B
      ⟹  [1−22212−22−1][xyz]=[354]\implies \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}

    সমীকরণ জোটটি হলো:
    x−2y+2z=3x - 2y + 2z = 3
    2x+y+2z=52x + y + 2z = 5
    −2x+2y−z=4-2x + 2y - z = 4

    ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
    D=∣1−22212−22−1∣D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}
    =1(−1−4)−(−2)(−2−(−4))+2(4−(−2))= 1(-1 - 4) - (-2)(-2 - (-4)) + 2(4 - (-2))
    =1(−5)+2(2)+2(6)=−5+4+12=11≠0= 1(-5) + 2(2) + 2(6) = -5 + 4 + 12 = 11 \neq 0

    Dx=∣3−2251242−1∣D_x = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 5 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \end{vmatrix}
    =3(−1−4)−(−2)(−5−8)+2(10−4)= 3(-1 - 4) - (-2)(-5 - 8) + 2(10 - 4)
    =3(−5)+2(−13)+2(6)=−15−26+12=−29= 3(-5) + 2(-13) + 2(6) = -15 - 26 + 12 = -29 (অথবা সমীকরণ অনুযায়ী হিসাব):
    3(−5)+2(−13)+2(6)=−15−26+12=−293(-5) + 2(-13) + 2(6) = -15 - 26 + 12 = -29

    পুনরায় যাচাই:
    x−2y+2z=3x - 2y + 2z = 3
    2x+y+2z=52x + y + 2z = 5
    −2x+2y−z=4-2x + 2y - z = 4

    Dx=3(−1−4)−(−2)(−5−8)+2(10−4)=−15−26+12=−29D_x = 3(-1-4) - (-2)(-5-8) + 2(10-4) = -15 - 26 + 12 = -29
    Dy=∣132252−24−1∣=1(−5−8)−3(−2+4)+2(8+10)=−13−6+36=17D_y = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 2 \\ -2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = 1(-5-8) - 3(-2+4) + 2(8+10) = -13 - 6 + 36 = 17
    Dz=∣1−23215−224∣=1(4−10)−(−2)(8+10)+3(4+2)=−6+36+18=48D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ -2 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(4-10) - (-2)(8+10) + 3(4+2) = -6 + 36 + 18 = 48

    অতএব,
    x=DxD=−2911x = \frac{D_x}{D} = -\frac{29}{11}
    y=DyD=1711y = \frac{D_y}{D} = \frac{17}{11}
    z=DzD=4811z = \frac{D_z}{D} = \frac{48}{11}

    নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(−2911,1711,4811)(x, y, z) = \left(-\frac{29}{11}, \frac{17}{11}, \frac{48}{11}\right)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, MN=I3MN = I_3
      ⟹  M=N−1\implies M = N^{-1}

    এখানে, N=[1−22212−22−1]N = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}

    ∣N∣=1(−1−4)−(−2)(−2+4)+2(4+2)=−5+4+12=11≠0|N| = 1(-1 - 4) - (-2)(-2 + 4) + 2(4 + 2) = -5 + 4 + 12 = 11 \neq 0
    যেহেতু ∣N∣≠0|N| \neq 0, তাই N−1N^{-1} বিদ্যমান।

    NN-এর ভুক্তিগুলির সহগুণকসমূহ:
    A11=+(−1−4)=−5A_{11} = +(-1 - 4) = -5
    A12=−(−2−(−4))=−2A_{12} = -(-2 - (-4)) = -2
    A13=+(4−(−2))=6A_{13} = +(4 - (-2)) = 6

    A21=−(2−4)=2A_{21} = -(2 - 4) = 2
    A22=+(−1−(−4))=3A_{22} = +(-1 - (-4)) = 3
    A23=−(2−4)=2A_{23} = -(2 - 4) = 2

    A31=+(−4−2)=−6A_{31} = +(-4 - 2) = -6
    A32=−(2−4)=2A_{32} = -(2 - 4) = 2
    A33=+(1−(−4))=5A_{33} = +(1 - (-4)) = 5

    adj N=[−5−26232−625]T=[−52−6−232625]\text{adj } N = \begin{bmatrix} -5 & -2 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ -6 & 2 & 5 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -5 & 2 & -6 \\ -2 & 3 & 2 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix}

    ∴M=N−1=1∣N∣adj N=111[−52−6−232625]\therefore M = N^{-1} = \frac{1}{|N|} \text{adj } N = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -5 & 2 & -6 \\ -2 & 3 & 2 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix} (Ans.)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন