উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $6x^2 - 5x - 1 = 0$
   এখানে, $a = 6$, $b = -5$, $c = -1$

   সমীকরণটির নিশ্চয়ক (Prithayak), $D = b^2 - 4ac$
   $= (-5)^2 - 4(6)(-1)$
   $= 25 + 24 = 49 = 7^2$

   যেহেতু নিশ্চয়ক $D > 0$ এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং সহগগুলো মূলদ, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প A: $A = \left(\frac{2}{x} + \frac{x}{2}\right)^n$
   দ্বিপদী বিস্তৃতির পদসংখ্যা হলো $(n+1)$।
   একটিমাত্র মধ্যপদ থাকার শর্ত হলো: মোট পদসংখ্যা বিজোড় হতে হবে, অর্থাৎ ঘাত $n$ জোড় সংখ্যা হতে হবে।
   সুতরাং, $n$ জোড় (even) সংখ্যা হলে বিস্তৃতিটিতে কেবল একটি মধ্যপদ থাকবে।

   যদি $n = 21$ হয়, তবে ঘাত $n$ বিজোড় সংখ্যা।
   এক্ষেত্রে মোট পদের সংখ্যা $n + 1 = 21 + 1 = 22$ (যা জোড়)।
   ফলে এর দুটি মধ্যপদ থাকবে।
   মধ্যপদ দুটি হলো:
   $\frac{n+1}{2} = \frac{21+1}{2} = 11$-তম পদ এবং
   $\left(\frac{n+1}{2} + 1\right) = 11 + 1 = 12$-তম পদ।

   ১১-তম পদের মান:
   $T_{11} = T_{10+1} = {}^{21}C_{10} \left(\frac{2}{x}\right)^{21-10} \left(\frac{x}{2}\right)^{10}$
   $= {}^{21}C_{10} \left(\frac{2}{x}\right)^{11} \left(\frac{x}{2}\right)^{10} = {}^{21}C_{10} \cdot \frac{2}{x} = \frac{2 \cdot {}^{21}C_{10}}{x} = \frac{705432}{x}$

   ১২-তম পদের মান:
   $T_{12} = T_{11+1} = {}^{21}C_{11} \left(\frac{2}{x}\right)^{21-11} \left(\frac{x}{2}\right)^{11}$
   $= {}^{21}C_{11} \left(\frac{2}{x}\right)^{10} \left(\frac{x}{2}\right)^{11} = {}^{21}C_{11} \cdot \frac{x}{2} = \frac{{}^{21}C_{10} \cdot x}{2} = \frac{352716 x}{2} = 176358x$
   (${}^{21}C_{10} = {}^{21}C_{11} = 352716$)।

   সুতরাং, $n$ জোড় সংখ্যা হলে একটি মধ্যপদ থাকবে।
   এবং $n = 21$ হলে মধ্যপদদ্বয় যথাক্রমে $\frac{705432}{x}$ এবং $176358x$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প B: $B = (1 - 9x + 20x^2)^{-1}$

   প্রথমে হরের অংশটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
   $1 - 9x + 20x^2 = 1 - 5x - 4x + 20x^2 = (1 - 5x) - 4x(1 - 5x) = (1 - 4x)(1 - 5x)$

   অতএব, $B = \frac{1}{(1 - 4x)(1 - 5x)}$

   আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই:
   $\frac{1}{(1 - 4x)(1 - 5x)} = \frac{5}{1 - 5x} - \frac{4}{1 - 4x}$
   $= 5(1 - 5x)^{-1} - 4(1 - 4x)^{-1}$

   আমরা জানি, $|y| < 1$ হলে,
   $(1 - y)^{-1} = 1 + y + y^2 + \dots + y^r + \dots$

   অতএব,
   $(1 - 5x)^{-1} = 1 + 5x + (5x)^2 + \dots + (5x)^9 + \dots$
   $(1 - 4x)^{-1} = 1 + 4x + (4x)^2 + \dots + (4x)^9 + \dots$

   সুতরাং,
   $B = 5 \sum_{r=0}^{\infty} (5x)^r - 4 \sum_{r=0}^{\infty} (4x)^r$

   অতএব, $B$ এর বিস্তৃতিতে $x^9$ এর সহগ:
   $= 5 \cdot 5^9 - 4 \cdot 4^9$
   $= 5^{10} - 4^{10}$। (প্রমাণিত)