উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=sin⁡x f(x)=\sin x
দৃশ্যকল্প-২:

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, sin⁡33∘+cos⁡33∘=2cos⁡12∘ \sin 33^{\circ}+\cos 33^{\circ}=\sqrt{2} \cos 12^{\circ} .

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ A+B+C=π A+B+C=\pi হলে, প্রমাণ কর যে,f(4A)+f(4B)+f(4C)=−4j(2A)f(2B)f(2C). f(4 A)+f(4 B)+f(4 C)=-4 j(2 A) f(2 B) f(2 C) .

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, b4+c4+a4−3b2c2=2a2(b2+c2) b^{4}+c^{4}+a^{4}-\sqrt{3} b^{2} c^{2}=2 a^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right) .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ =sin⁡33∘+cos⁡33∘= \sin 33^\circ + \cos 33^\circ
    =2(12cos⁡33∘+12sin⁡33∘)= \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 33^\circ + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 33^\circ\right)
    =2(cos⁡45∘cos⁡33∘+sin⁡45∘sin⁡33∘)= \sqrt{2}(\cos 45^\circ \cos 33^\circ + \sin 45^\circ \sin 33^\circ)
    =2cos⁡(45∘−33∘)= \sqrt{2} \cos(45^\circ - 33^\circ)
    =2cos⁡12∘== \sqrt{2} \cos 12^\circ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x
    বামপক্ষ =f(4A)+f(4B)+f(4C)= f(4A) + f(4B) + f(4C)
    =sin⁡4A+sin⁡4B+sin⁡4C= \sin 4A + \sin 4B + \sin 4C
    =2sin⁡(4A+4B2)cos⁡(4A−4B2)+2sin⁡2Ccos⁡2C= 2\sin\left(\frac{4A+4B}{2}\right)\cos\left(\frac{4A-4B}{2}\right) + 2\sin 2C\cos 2C
    =2sin⁡(2A+2B)cos⁡(2A−2B)+2sin⁡2Ccos⁡2C= 2\sin(2A+2B)\cos(2A-2B) + 2\sin 2C\cos 2C

    যেহেতু A+B+C=πA+B+C = \pi, তাই 2A+2B=2π−2C2A+2B = 2\pi - 2C
    তাহলে, sin⁡(2A+2B)=sin⁡(2π−2C)=−sin⁡2C\sin(2A+2B) = \sin(2\pi - 2C) = -\sin 2C

    =−2sin⁡2Ccos⁡(2A−2B)+2sin⁡2Ccos⁡2C= -2\sin 2C\cos(2A-2B) + 2\sin 2C\cos 2C
    =−2sin⁡2C[cos⁡(2A−2B)−cos⁡2C]= -2\sin 2C[\cos(2A-2B) - \cos 2C]

    আবার, 2C=2π−(2A+2B)2C = 2\pi - (2A+2B)
    cos⁡2C=cos⁡(2π−(2A+2B))=cos⁡(2A+2B)\cos 2C = \cos(2\pi - (2A+2B)) = \cos(2A+2B)

    =−2sin⁡2C[cos⁡(2A−2B)−cos⁡(2A+2B)]= -2\sin 2C[\cos(2A-2B) - \cos(2A+2B)]
    =−2sin⁡2C[2sin⁡2Asin⁡2B]= -2\sin 2C[2\sin 2A\sin 2B]
    =−4sin⁡2Asin⁡2Bsin⁡2C= -4\sin 2A\sin 2B\sin 2C
    =−4f(2A)f(2B)f(2C)== -4f(2A)f(2B)f(2C) = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    চিত্রানুযায়ী, △ABC\triangle ABC-এ A=15∘A = 15^\circ।
    কোসাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
    cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
    ⇒cos⁡15∘=b2+c2−a22bc\Rightarrow \cos 15^\circ = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

    আমরা জানি,
    cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ
    =12⋅32+12⋅12=3+122= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}

    সুতরাং,
    b2+c2−a22bc=3+122\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}
    উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
    (b2+c2−a2)24b2c2=(3+1)2(22)2=3+23+18=4+238=2+34\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{8} = \frac{4+2\sqrt{3}}{8} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}

    ⇒(b2+c2−a2)2b2c2=2+3\Rightarrow \frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{b^2c^2} = 2+\sqrt{3}
    ⇒(b2+c2−a2)2=(2+3)b2c2\Rightarrow (b^2+c^2-a^2)^2 = (2+\sqrt{3})b^2c^2
    ⇒[(b2+c2)−a2]2=2b2c2+3b2c2\Rightarrow [(b^2+c^2)-a^2]^2 = 2b^2c^2 + \sqrt{3}b^2c^2
    ⇒(b2+c2)2−2a2(b2+c2)+a4=2b2c2+3b2c2\Rightarrow (b^2+c^2)^2 - 2a^2(b^2+c^2) + a^4 = 2b^2c^2 + \sqrt{3}b^2c^2
    ⇒b4+2b2c2+c4−2a2(b2+c2)+a4=2b2c2+3b2c2\Rightarrow b^4 + 2b^2c^2 + c^4 - 2a^2(b^2+c^2) + a^4 = 2b^2c^2 + \sqrt{3}b^2c^2
    ⇒b4+c4+a4−3b2c2=2a2(b2+c2)\Rightarrow b^4 + c^4 + a^4 - \sqrt{3}b^2c^2 = 2a^2(b^2+c^2) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন