উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১ : একটি শূন্য কূপের মধ্যে একটি ভারী বস্তু ফেলার 5.5 সেকেন্ড পরে এর তলদেশে ভারী বস্তুটির পতনের শব্দ শোনা গেল।
দৃশ্যকল্প-২ : একটি খাড়া দেওয়ালের পাদদেশ হতে ভূমি বরাবর 75 মিটার দূরত্বের কোনো বিন্দু হতে 45° কোণে একটি বস্তু নিক্ষেপ করা হলো। বস্তুটি দেওয়ালের ঠিক উপর দিয়ে চলে গেল এবং দেওয়ালের অপর পার্শ্বে 45 মিটার দূরত্বে গিয়ে ভূমিতে পতিত হলো।
- ক)(1)
20 ms-1 বেগে ঊর্ধ্বগামী কোনো বেলুন হতে পতিত এক টুকরা পাথর 15 সেকেন্ডে মাটিতে পতিত হয়। যখন পাথরের টুকরা পতিত হয়, তখন বেলুনের উচ্চতা কত?
- খ)(2)
উদ্দীপক-১ হতে শব্দের বেগ 327 মিটার/ সেকেন্ড হলে, কূপের গভীরতা নির্ণয় কর। (g = 9.81 মিটার/সেকেন্ড)
- গ)(3)
দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, দেওয়ালটির উচ্চতা h = 28.125 মিটার।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, ভূমির সাপেক্ষে ঊর্ধ্বমুখী দিক ঋণাত্মক এবং নিম্নমুখী দিক ধনাত্মক।
পাথরের টুকরাটি বেলুন থেকে পতনের মুহূর্তে বেলুনের আদিবেগ, u = -20 ms⁻¹ (যেহেতু বেলুনটি ঊর্ধ্বগামী)।
সময়, t = 15 s
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g = 9.8 ms⁻²
ধরি, পতনের মুহূর্তে বেলুনের উচ্চতা ছিল h।
তাহলে,
h = -ut + (1/2)gt²
h = -20 × 15 + (1/2) × 9.8 × (15)²
h = -300 + 0.5 × 9.8 × 225
h = -300 + 1102.5 = 802.5 m
(যদি g = 9.81 ms⁻² ব্যবহার করা হয়: h = -300 + 0.5 × 9.81 × 225 = -300 + 1103.625 = 803.625 m)
অতএব, যখন পাথরের টুকরা পতিত হয়, তখন বেলুনের উচ্চতা ছিল 802.5 মিটার (বা 803.625 মিটার)। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, কূপের গভীরতা = h মিটার।
ভারী বস্তুটি কূপের ওপর থেকে মুক্তভাবে তলদেশে পড়তে প্রয়োজনীয় সময় t₁ হলে,
h = (1/2)gt₁²
⇒ t₁ = √(2h / g)
শব্দ কূপের তলদেশ থেকে ওপরে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় t₂ হলে,
t₂ = h / v, যেখানে শব্দের বেগ v = 327 m/s।
প্রশ্নমতে, t₁ + t₂ = 5.5
⇒ √(2h / 9.81) + h / 327 = 5.5
ধরি, √h = x, সুতরাং h = x²
⇒ √(2/9.81) x + x²/327 = 5.5
এখানে √(2/9.81) = √(0.20387) ≈ 0.45152
⇒ x² / 327 + 0.45152x - 5.5 = 0
⇒ x² + 147.647x - 1798.5 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে পাই,
x = [-147.647 + √(147.647² - 4 × 1 × (-1798.5))] / 2
x = [-147.647 + √(21799.64 + 7194)] / 2
x = [-147.647 + √28993.64] / 2
x = [-147.647 + 170.275] / 2
x = 22.628 / 2 = 11.314
অতএব, কূপের গভীরতা h = x² = (11.314)² ≈ 128.01 মিটার।
(সংক্ষিপ্তভাবে: h ≈ 128 মিটার বা 128.01 মিটার)। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, নিক্ষেপণ বিন্দু হতে দেওয়ালের দূরত্ব x = 75 m
দেওয়ালের অপর পার্শ্বে বস্তুটির পতন বিন্দুর দূরত্ব = 45 m
অতএব, অনুভূমিক পাল্লা, R = 75 + 45 = 120 m
নিক্ষেপণ কোণ, α = 45°আমরা জানি, প্রক্ষেপকের গতিপথের সমীকরণ:
y = x tan α (1 - x / R)
এখানে, দেওয়ালটির উচ্চতা h হলে x = 75 m এর জন্য y = h হবে।
সুতরাং,
h = 75 × tan 45° × (1 - 75 / 120)
h = 75 × 1 × (1 - 5 / 8)
h = 75 × (3 / 8)
h = 225 / 8 = 28.125 mঅতএব, দেওয়ালটির উচ্চতা h = 28.125 মিটার। (দেখানো হলো)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও