পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি ভেক্টর রাশিকে দুই বা ততোধিক উপাংশে বিভক্ত করার প্রক্রিয়াকে ভেক্টর বিভাজন বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণনের সংজ্ঞানুযায়ী,
   $\hat{\mathrm{k}} \times \hat{\mathrm{k}} = |\hat{\mathrm{k}}| |\hat{\mathrm{k}}| \sin\alpha \; \hat{\eta}$
   যেখানে $\hat{\mathrm{k}}$ হলো $z$-অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর, ফলে $|\hat{\mathrm{k}}| = 1$। যেহেতু একই ভেক্টরের মধ্যকার কোণ $\alpha = 0^\circ$, তাই:
   $\sin 0^\circ = 0$
   অতএব,
   $\hat{\mathrm{k}} \times \hat{\mathrm{k}} = 1 \cdot 1 \cdot 0 \cdot \hat{\eta} = \vec{0}$ বা নাল ভেক্টর।
   যে ভেক্টরের মান শূন্য এবং যার কোনো নির্দিষ্ট দিক থাকে না, তাকে নাল ভেক্টর বলে। সুতরাং, $\hat{\mathrm{k}} \times \hat{\mathrm{k}}$ একটি নাল ভেক্টর।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, মূলবিন্দু $O(0, 0, 0)$ এর সাপেক্ষে $P(2, 2, -1)$ এবং $Q(6, -3, 2)$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরদ্বয় যথাক্রমে:
   $\vec{OP} = 2\hat{\mathrm{i}} + 2\hat{\mathrm{j}} - \hat{\mathrm{k}}$
   $\vec{OQ} = 6\hat{\mathrm{i}} - 3\hat{\mathrm{j}} + 2\hat{\mathrm{k}}$

   ভেক্টরদ্বয়ের মান:
   $|\vec{OP}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
   $|\vec{OQ}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

   ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন:
   $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4$

   $\vec{OP}$ ও $\vec{OQ}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে,
   $\cos\theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|} = \frac{4}{3 \times 7} = \frac{4}{21}$
   $\therefore \theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right) \approx 79.02^\circ$

   অতএব, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ প্রায় $79.02^\circ$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   $\vec{OP} = 2\hat{\mathrm{i}} + 2\hat{\mathrm{j}} - \hat{\mathrm{k}}$
   $\vec{OQ} = 6\hat{\mathrm{i}} - 3\hat{\mathrm{j}} + 2\hat{\mathrm{k}}$

   এবং $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$
   $= (6 - 2)\hat{\mathrm{i}} + (-3 - 2)\hat{\mathrm{j}} + (2 - (-1))\hat{\mathrm{k}}$
   $= 4\hat{\mathrm{i}} - 5\hat{\mathrm{j}} + 3\hat{\mathrm{k}}$

   তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রৈধ গুণন (Scalar Triple Product) শূন্য হবে, অর্থাৎ $\vec{OP} \cdot (\vec{OQ} \times \vec{PQ}) = 0$ অথবা ভেক্টর তিনটির সহগ নিয়ে গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।

   নির্ণায়কের সাহায্যে পাই:
   $D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 3 \end{vmatrix}$
   $= 2[(-3)(3) - (2)(-5)] - 2[(6)(3) - (2)(4)] - 1[(6)(-5) - (-3)(4)]$
   $= 2[-9 + 10] - 2[18 - 8] - 1[-30 + 12]$
   $= 2(1) - 2(10) - 1(-18)$
   $= 2 - 20 + 18$
   $= 0$

   যেহেতু ভেক্টর তিনটির স্কেলার ত্রৈধ গুণন শূন্য ($D = 0$) (তাছাড়া জ্যামিতিকভাবে ত্রিভুজ $\triangle OPQ$-এর তিনটি বাহু একই সমতলে অবস্থিত), তাই $\vec{OP}$, $\vec{OQ}$ ও $\vec{PQ}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে।