উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি:
   $\sec^2 \left( \cot^{-1} \frac{1}{4} \right) + \tan^2 \left( \cos^{-1} \frac{1}{3} \right)$

   আমরা জানি, $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$
   সুতরাং, $\sec^2 \left( \cot^{-1} \frac{1}{4} \right) = 1 + \tan^2 \left( \cot^{-1} \frac{1}{4} \right) = 1 + \tan^2 (\tan^{-1} 4) = 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17$

   আবার, $\tan^2 \phi = \sec^2 \phi - 1$
   সুতরাং, $\tan^2 \left( \cos^{-1} \frac{1}{3} \right) = \sec^2 \left( \cos^{-1} \frac{1}{3} \right) - 1 = \sec^2 (\sec^{-1} 3) - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

   অতএব, প্রদত্ত রাশির মান $= 17 + 8 = 25$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই,
   $P = \sec^{-1} \sqrt{5} - \frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} + \cot^{-1} 3$

   এখানে,
   ১. $\sec^{-1} \sqrt{5} = \tan^{-1} \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1} = \tan^{-1} \sqrt{4} = \tan^{-1} 2$
   ২. $\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{5^2 - 3^2}} \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{3}{4}$
   আমরা জানি, $\frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right) = \tan^{-1} x$
   এখানে, $\frac{2x}{1-x^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3 - 3x^2 = 8x \Rightarrow 3x^2 + 8x - 3 = 0$
   $\Rightarrow (3x - 1)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ (যেহেতু $x > 0$)
   অতএব, $\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} = \tan^{-1} \frac{1}{3}$
   ৩. $\cot^{-1} 3 = \tan^{-1} \frac{1}{3}$

   অতএব,
   $P = \tan^{-1} 2 - \tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{3}$
   $\Rightarrow P = \tan^{-1} 2$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
   $\cos^{-1} \frac{m}{a} + \cos^{-1} \frac{n}{b} = x$

   আমরা জানি, $\cos^{-1} u + \cos^{-1} v = \cos^{-1} \left( uv - \sqrt{1-u^2} \sqrt{1-v^2} \right)$
   সুতরাং,
   $\cos^{-1} \left[ \frac{m}{a} \cdot \frac{n}{b} - \sqrt{1 - \frac{m^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{n^2}{b^2}} \right] = x$

   $\Rightarrow \frac{mn}{ab} - \sqrt{1 - \frac{m^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{n^2}{b^2}} = \cos x$
   $\Rightarrow \frac{mn}{ab} - \cos x = \sqrt{1 - \frac{m^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{n^2}{b^2}}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $\left( \frac{mn}{ab} - \cos x \right)^2 = \left( 1 - \frac{m^2}{a^2} \right) \left( 1 - \frac{n^2}{b^2} \right)$
   $\Rightarrow \frac{m^2 n^2}{a^2 b^2} - 2 \frac{mn}{ab} \cos x + \cos^2 x = 1 - \frac{n^2}{b^2} - \frac{m^2}{a^2} + \frac{m^2 n^2}{a^2 b^2}$
   $\Rightarrow \frac{m^2}{a^2} - 2 \frac{mn}{ab} \cos x + \frac{n^2}{b^2} = 1 - \cos^2 x$
   $\Rightarrow \frac{m^2}{a^2} - \frac{2mn}{ab} \cos x + \frac{n^2}{b^2} = \sin^2 x$ (দেখানো হলো)।