উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[3−42−210−1−11] A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \ -2 & 1 & 0 \ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

  1. ক)

    [x2x−32] \begin{bmatrix} x^2 & x \ -3 & 2 \end{bmatrix} ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে x এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    AB=BA=I3 AB = BA = I_3 হলে, B নির্ণয় কর; যেখানে B একটি 3×3 3 \times 3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।

    (4)
  3. গ)

    C=At C = A^t হলে C2−5C+6I C^2 - 5C + 6I নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে ম্যাট্রিক্সটি একটি ব্যতিক্রমী (singular) ম্যাট্রিক্স।
    সুতরাং, এর নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।
    ∣x2x−32∣=0\begin{vmatrix} x^2 & x \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 0
      ⟹  2x2−(−3x)=0\implies 2x^2 - (-3x) = 0
      ⟹  2x2+3x=0\implies 2x^2 + 3x = 0
      ⟹  x(2x+3)=0\implies x(2x + 3) = 0
    হয় x=0x = 0 অথবা 2x+3=0  ⟹  x=−322x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}

    নির্ণেয় মান: x=0,−32x = 0, -\frac{3}{2}

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যেহেতু AB=BA=I3AB = BA = I_3, তাই B=A−1B = A^{-1}।

    দেওয়া আছে, A=[3−42−210−1−11]A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

    ∣A∣=3(1−0)−(−4)(−2−0)+2(2−(−1))|A| = 3(1 - 0) - (-4)(-2 - 0) + 2(2 - (-1))
    =3(1)+4(−2)+2(3)=3−8+6=1≠0= 3(1) + 4(-2) + 2(3) = 3 - 8 + 6 = 1 \neq 0
    যেহেতু ∣A∣≠0|A| \neq 0, তাই A−1A^{-1} বিদ্যমান।

    AA এর সহগুণকসমূহ:
    A11=+∣10−11∣=1−0=1A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1
    A12=−∣−20−11∣=−(−2−0)=2A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2
    A13=+∣−21−1−1∣=2−(−1)=3A_{13} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = 2 - (-1) = 3

    A21=−∣−42−11∣=−(−4+2)=2A_{21} = -\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-4 + 2) = 2
    A22=+∣32−11∣=3−(−2)=5A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - (-2) = 5
    A23=−∣3−4−1−1∣=−(−3−4)=7A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 4) = 7

    A31=+∣−4210∣=0−2=−2A_{31} = +\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2
    A32=−∣32−20∣=−(0−(−4))=−4A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - (-4)) = -4
    A33=+∣3−4−21∣=3−8=−5A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5

    adj(A)=[123257−2−4−5]t=[12−225−437−5]\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -2 & -4 & -5 \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}

    অতএব, B=A−1=1∣A∣adj(A)=11[12−225−437−5]=[12−225−437−5]B = A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{bmatrix}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A=[3−42−210−1−11]A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

    অতএব, C=At=[3−2−1−41−1201]C = A^t = \begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}

    এখন, C2=C⋅C=[3−2−1−41−1201][3−2−1−41−1201]C^2 = C \cdot C = \begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    =[9+8−2−6−2−0−3+2−1−12−4−28+1−04−1−16+0+2−4+0+0−2+0+1]=[15−8−2−18928−4−1]= \begin{bmatrix} 9+8-2 & -6-2-0 & -3+2-1 \\ -12-4-2 & 8+1-0 & 4-1-1 \\ 6+0+2 & -4+0+0 & -2+0+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & -8 & -2 \\ -18 & 9 & 2 \\ 8 & -4 & -1 \end{bmatrix}

    −5C=−5[3−2−1−41−1201]=[−1510520−55−100−5]-5C = -5 \begin{bmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15 & 10 & 5 \\ 20 & -5 & 5 \\ -10 & 0 & -5 \end{bmatrix}

    6I=6[100010001]=[600060006]6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}

    অতএব, C2−5C+6I=[15−8−2−18928−4−1]+[−1510520−55−100−5]+[600060006]C^2 - 5C + 6I = \begin{bmatrix} 15 & -8 & -2 \\ -18 & 9 & 2 \\ 8 & -4 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -15 & 10 & 5 \\ 20 & -5 & 5 \\ -10 & 0 & -5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}
    =[15−15+6−8+10+0−2+5+0−18+20+09−5+62+5+08−10+0−4+0+0−1−5+6]= \begin{bmatrix} 15-15+6 & -8+10+0 & -2+5+0 \\ -18+20+0 & 9-5+6 & 2+5+0 \\ 8-10+0 & -4+0+0 & -1-5+6 \end{bmatrix}
    =[6232107−2−40]= \begin{bmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 10 & 7 \\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন