উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y) = (3, \sqrt{3})$।
   ধরি, পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$।
   এখানে,
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
   যেহেতু বিন্দুটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত,
   $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ বা $30^\circ$

   অতএব, $P$ বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক $\left(2\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}\right)$ বা $(2\sqrt{3}, 30^\circ)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, $A(3, 0)$ এবং $B(0, 2)$।
   প্রশ্নমতে, $Q$ বিন্দু $AB$ রেখাংশকে $2 : 3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, অর্থাৎ $AQ : QB = 2 : 3$।
   অতএব, $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $x_Q = \frac{2 \times 0 + 3 \times 3}{2 + 3} = \frac{9}{5}$
   $y_Q = \frac{2 \times 2 + 3 \times 0}{2 + 3} = \frac{4}{5}$
   সুতরাং, $Q\left(\frac{9}{5}, \frac{4}{5}\right)$।

   এখন, $\triangle PQB$ ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো $P(3, \sqrt{3})$, $Q\left(\frac{9}{5}, \frac{4}{5}\right)$ এবং $B(0, 2)$।
   অতএব, $\triangle PQB$ এর ক্ষেত্রফল:
   $= \frac{1}{2} \left| 3\left(\frac{4}{5} - 2\right) + \frac{9}{5}(2 - \sqrt{3}) + 0\left(\sqrt{3} - \frac{4}{5}\right) \right|$
   $= \frac{1}{2} \left| 3\left(-\frac{6}{5}\right) + \frac{18}{5} - \frac{9\sqrt{3}}{5} \right|$
   $= \frac{1}{2} \left| -\frac{18}{5} + \frac{18}{5} - \frac{9\sqrt{3}}{5} \right|$
   $= \frac{1}{2} \left| -\frac{9\sqrt{3}}{5} \right|$
   $= \frac{9\sqrt{3}}{10}$ বর্গ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুযায়ী, $A(3, 0)$ এবং $B(0, 2)$।
   দেওয়া আছে, $C$ ও $D$ বিন্দুদ্বয় $AB$ রেখাংশকে তিনটি সমান ভাগে ভাগ করে।
   সুতরাং, $C$ বিন্দুটি $AB$ রেখাংশকে $1 : 2$ অনুপাতে এবং $D$ বিন্দুটি $AB$ রেখাংশকে $2 : 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

   $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $C\left(\frac{1 \times 0 + 2 \times 3}{1 + 2}, \frac{1 \times 2 + 2 \times 0}{1 + 2}\right) = C\left(\frac{6}{3}, \frac{2}{3}\right) = C\left(2, \frac{2}{3}\right)$

   $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $D\left(\frac{2 \times 0 + 1 \times 3}{2 + 1}, \frac{2 \times 2 + 1 \times 0}{2 + 1}\right) = D\left(\frac{3}{3}, \frac{4}{3}\right) = D\left(1, \frac{4}{3}\right)$

   মূলবিন্দু $O(0, 0)$।
   অতএব, $O(0, 0)$ ও $C\left(2, \frac{2}{3}\right)$ বিন্দুগামী $OC$ সরলরেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{\frac{2}{3} - 0}{2 - 0}$
   $\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
   $\Rightarrow x - 3y = 0$

   এবং $O(0, 0)$ ও $D\left(1, \frac{4}{3}\right)$ বিন্দুগামী $OD$ সরলরেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{\frac{4}{3} - 0}{1 - 0}$
   $\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{4}{3}$
   $\Rightarrow 4x - 3y = 0$

   সুতরাং, নির্ণেয় সমীকরণদ্বয় যথাক্রমে $x - 3y = 0$ এবং $4x - 3y = 0$।